5. Resolva as equações abaixo: (a) (1+x)dx-ydy=0 (b) xy^4dx+(y^2+2)e^-3xdy=0 (c) 2y(x+1)dy=xdx ) (e^x+e^-x)(dy)/(dx)=y^2 (e) (1+x^2+y^2+x^2y^2)dy=y^2dx

Para resolver essas equações diferenciais, podemos usar diferentes métodos, como o método de separação de variáveis ou o método de integração implícita. Vou resolver cada uma delas:<br /><br />(a) $(1+x)dx - ydy = 0$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos isolar as variáveis x e y em um lado da equação:<br /><br />$(1+x)dx = ydy$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />$\int (1+x)dx = \int ydy$<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />$x + \frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C$<br /><br />Onde C é a constante de integração. Esta é a solução implícita para essa equação.<br /><br />(b) $xy^{4}dx + (y^{2}+2)e^{-3x}dy = 0$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos isolar as variáveis x e y em um lado da equação:<br /><br />$xy^{4}dx = -(y^{2}+2)e^{-3x}dy$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />$\int xy^{4}dx = -\int (y^{2}+2)e^{-3x}dy$<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />$\frac{x y^4}{4} = -\frac{(y^2 + 2) e^{-3x}}{3} + C$<br /><br />Onde C é a constante de integração. Esta é a solução implícita para essa equação.<br /><br />(c) $(x+1)dy = xdx$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos isolar as variáveis x e y em um lado da equação:<br /><br />$2y(x+1)dy = xdx$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />$\int 2y(x+1)dy = \int xdx$<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />$y^2(x+1) = \frac{x^2}{2} + C$<br /><br />Onde C é a constante de integração. Esta é a solução implícita para essa equação.<br /><br />(d) $(e^{x}+e^{-x})\frac{dy}{dx} = y^{2}$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos isolar as variáveis x e y em um lado da equação:<br /><br />$(e^{x}+e^{-x})\frac{dy}{dx} = y^{2}$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />$\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} d(e^{x}+e^{-x}) = \int y^{-2} dy$<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />$\ln|e^{x}+e^{-x}| = -y^{-1} + C$<br /><br />Onde C é a constante de integração. Esta é a solução implícita para essa equação.<br /><br />(e) $(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y})dy = y^{2}dx$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos isolar as variáveis x e y em um lado da equação:<br /><br />$(1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})dy = y^{2}dx$<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />$\int (1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2})dy = \int y^{2}dx$<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />$y + x^2y + \frac{y^3}{3} + x^2 \frac{y^3}{3} = \frac{y^3}{3} + C$<br /><br />Onde C é a constante de integração. Esta é a solução implícita para essa equação.