1 - Obtenha a derivada das seguintes funções: (4 pontos) f(x)=2x^3+3x^2-6x-4 blf(x)=sqrt (x+2)+sqrt (x^2-4x-2) (x^2)^2+(x^2-4x-2)^3x+(x+gt )^2-(x+2)(3)/(2)=3+(3)/(2) (x^2-x+ 2- Resolva as seguintes integrais definidas e indefinidas:(4 pontos) int cossec^2(x)dx - cotg x+C b) int _(1)^2((3x+2)^2-(2x+1)^2)dx 3- Calcule a área relativa ao gráfico da função f(x)=x^2-3x+8 no intervaic de 1leqslant xleqslant 2

1 - Para obter a derivada das funções fornecidas, aplicamos as regras de derivação.<br /><br />a) Para a função $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-6x-4$, a derivada é dada por:<br /><br />$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{3}) + \frac{d}{dx}(3x^{2}) - \frac{d}{dx}(-6x) - \frac{d}{dx}(-4)$<br /><br />Aplicando a regra do coeficiente, temos:<br /><br />$f'(x) = 6x^{2} + 6x + 6$<br /><br />b) Para a função $blf(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{x^{2}-4x-2}$, a derivada é dada por:<br /><br />$blf'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+2}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x^{2}-4x-2})$<br /><br />Aplicando a regra da raiz quadrada, temos:<br /><br />$blf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} + \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-4x-2}} \cdot (2x-4)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$blf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} + \frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x-2}}$<br /><br />2 - Para resolver os integrais definidas e indefinidas, aplicamos as propriedades dos integrais.<br /><br />a) Para o integral indefinido $\int \cos^{2}(x)dx$, podemos utilizar a identidade trigonométrica $\cos^{2}(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:<br /><br />$\int \cos^{2}(x)dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2}dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos(2x))dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin(2x)) + C$<br /><br />b) Para o integral definido $\int_{1}^{2}((3x+2)^{2}-(2x+1)^{2})dx$, podemos simplificar a expressão dentro do integral:<br /><br />$(3x+2)^{2}-(2x+1)^{2} = (3x+2 + 2x+1)(3x+2 - 2x-1) = (5x+3)(x+1) = 5x^{2} + 8x + 3$<br /><br />Agora, podemos calcular o integral definido:<br /><br />$\int_{1}^{2}(5x^{2} + 8x + 3)dx = \left[\frac{5}{3}x^{3} + 4x^{2} + 3x\right]_{1}^{2} = \left(\frac{5}{3}(2)^{3} + 4(2)^{2} + 3(2)\right) - \left(\frac{5}{3}(1)^{3} + 4(1)^{2} + 3(1)\right) = \frac{40}{3}$<br /><br />3 - Para calcular a área relativa ao gráfico da função $f(x)=x^{2}-3x+8$ no intervalo de $1\leqslant x\leqslant 2$, podemos utilizar o conceito de integral definida.<br /><br />A área relativa ao gráfico da função é dada pela integral definida:<br /><br />$\int_{1}^{2}(f(x)-y)dx = \int_{1}^{2}(x^{2}-3x+8-y)dx$<br /><br />Como não temos o valor de $y$, não podemos calcular a área exata. No entanto, se tivermos um valor específico para $y$, podemos substituí-lo na integral e calcular a área correspondente.