2. Considere a equação linear y''-2y'+y=0 e responda os itens abaixo. (a) Mostre que y(x)=xe^x é uma solução para a equação acima. (b) Mostre que se y_(1)ey_(2) são soluções da EDO acima então y_(1)+y_(2) também é solução desta EDO. (c) Mostre que se y_(3) é solução da EDO acima ecin R então ccdot y_(3) também é solução da EDO acima.

(a) Para mostrar que $y(x)=xe^{x}$ é uma solução para a equação diferencial $y''-2y'+y=0$, precisamos substituir $y$ e suas derivadas em sua expressão e verificar se a equação é satisfeita.<br /><br />Substituindo $y(x)$ na equação diferencial, temos:<br /><br />$y''(x) = \frac{d}{dx}(xe^{x})' = e^{x} + xe^{x}$<br /><br />$y'(x) = (xe^{x})' = e^{x} + xe^{x}$<br /><br />Substituindo essas derivadas na equação diferencial, temos:<br /><br />$(e^{x} + xe^{x}) - 2(e^{x} + xe^{x}) + e^{x} = 0$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$e^{x} + xe^{x} - 2e^{x} - 2xe^{x} + e^{x} = 0$<br /><br />$-2xe^{x} = 0$<br /><br />Portanto, $y(x)=xe^{x}$ é uma solução para a equação diferencial $y''-2y'+y=0$.<br /><br />(b) Para mostrar que se $y_{1}$ e $y_{2}$ são soluções da EDO acima, então $y_{1}+y_{2}$ também é solução desta EDO, precisamos substituir $y_{1}+y_{2}$ na equação diferencial e verificar se a equação é satisfeita.<br /><br />Se $y_{1}$ e $y_{2}$ são soluções da EDO, temos:<br /><br />$y_{1}'' - 2y_{1}' + y_{1} = 0$<br /><br />$y_{2}'' - 2y_{2}' + y_{2} = 0$<br /><br />Somando essas duas equações, temos:<br /><br />$(y_{1}'' + y_{2}'') - 2(y_{1}' + y_{2}') + (y_{1} + y_{2}) = 0$<br /><br />Agora, substituindo $y_{1}+y_{2}$ na equação diferencial, temos:<br /><br />$(y_{1}'' + y_{2}'') - 2(y_{1}' + y_{2}') + 2(y_{1} + y_{2}) = 0$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$(y_{1}'' - 2y_{1}' + y_{1}) + (y_{2}'' - 2y_{2}' + y_{2}) = 0$<br /><br />Como $y_{1}$ e $y_{2}$ são soluções da EDO, temos:<br /><br />$(y_{1}'' - 2y_{1}' + y_{1}) = 0$<br /><br />$(y_{2}'' - 2y_{2}' + y_{2}) = 0$<br /><br />Portanto, a equação diferencial é satisfeita para $y_{1}+y_{2}$.<br /><br />(c) Para mostrar que se $y_{3}$ é solução da EDO acima para $c\in R$ então $c\cdot y_{3}$ também é solução da EDO acima, precisamos substituir $c\cdot y_{3}$ na equação diferencial e verificar se a equação é satisfeita.<br /><br />Se $y_{3}$ é solução da EDO, temos:<br /><br />$y_{3}'' - 2y_{3}' + y_{3} = 0$<br /><br />Multiplicando essa equação por $c$, temos:<br /><br />$c(y_{3}'' - 2y_{3}' + y_{3}) = 0$<br /><br />Agora, substituindo $c\cdot y_{3}$ na equação diferencial, temos:<br /><br />$(c\cdot y_{3})'' - 2(c\cdot y_{3})' + c\cdot y_{3} = 0$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$c(y_{3}'' - 2y_{3}' + y_{3}) = 0$<br /><br />Como $y_{3}$ é solução da EDO, temos:<br /><br />$y_{3}'' - 2y_{3}' + y_{3} = 0$<br /><br />Portanto, a equação diferencial é satisfeita para $c\cdot y_{3}$.<br /><br />Portanto, se $y_{3}$ é solução da EDO acima para $c\in R$ então $c\cdot y_{3}$ também é solução da EDO acima.