Questão 1. (30 pontos)Sobre a função e^x^(2) usando as informações que você já conhece a respeito de sua série de potências, (i) (10 pontos) encontre uma primitiva usando série de potências; (iii) (10 pontos) verifique para quais valores a primitiva encontrada está definida; (iii) (10 pontos) dê a função F(t)=int _(0)^te^x^(2)dx

(i) Para encontrar uma primitiva da função $e^{x^{2}}$ usando a série de potências, podemos expressar $e^{x^{2}}$ como uma série de potências infinita. A série de potências de $e^{x^{2}}$ é dada por:<br /><br />$e^{x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$<br /><br />Agora, podemos integrar termo a termo para encontrar uma primitiva:<br /><br />$\int e^{x^{2}} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int \frac{x^{2n}}{n!} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + C$<br /><br />Portanto, uma primitiva da função $e^{x^{2}}$ é dada por:<br /><br />$\int e^{x^{2}} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + C$<br /><br />(ii) A primitiva encontrada está definida para todos os valores de $x$ reais. Isso ocorre porque a série de potências converge para todos os valores de $x$ reais.<br /><br />(iii) Para encontrar a função $F(t)$, podemos usar a primitiva encontrada:<br /><br />$F(t) = \int_{0}^{t} e^{x^{2}} dx = \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right]_{0}^{t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{0^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}$<br /><br />Portanto, a função $F(t)$ é dada por:<br /><br />$F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}$