(4) f(x, y)=(x^4+x^2. Uo ponto P(1,0) encontre a derivada direcionat def na direcaio e sentido de P para Q(0,-1) . Encontre também a taxa de variação máxima de fem P e a direcaio e sentido em que ela'ocorre.

Para encontrar a derivada direcional de \( f(x, y) \) na direção e sentido de \( P \) para \( Q \), precisamos primeiro encontrar o vetor unitário na direção de \( Q \) a partir de \( P \).<br /><br />Vamos calcular o vetor \( \vec{PQ} \) que vai de \( P \) para \( Q \):<br />\[ \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ -1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \]<br /><br />Agora, vamos normalizar esse vetor para obter o vetor unitário \( \hat{u} \):<br />\[ \hat{u} = \frac{\vec{PQ}}{\|\vec{PQ}\|} = \frac{1}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada direcional de \( f \) na direção de \( \hat{u} \):<br />\[ \nabla f(P) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x^3 + 2x \\ 2x \end{pmatrix} \]<br /><br />Evaluando em \( P(1,0) \):<br />\[ \nabla f(P) = \begin{pmatrix} 4(1)^3 + 2(1) \\ 2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \]<br /><br />A derivada direcional é dada por:<br />\[ \nabla f(P) \cdot \hat{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = 6 \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{8}{\sqrt{2}} = -4\sqrt{2} \]<br /><br />Portanto, a derivada direcional de \( f \) na direção de \( Q \) a partir de \( P \) é \( -4\sqrt{2} \).<br /><br />Para encontrar a taxa de variação máxima de \( f \) em \( P \), precisamos encontrar a direção em que a derivada direcional é máxima. Isso ocorre quando o vetor unitário \( \hat{u} \) é perpendicular à gradiente \( \nabla f(P) \).<br /><br />A direção em que a taxa de variação máxima ocorre é dada por \( \hat{u} \), que é perpendicular à gradiente em \( P \). Portanto, a taxa de variação máxima ocorre na direção de \( Q \) a partir de \( P \), que é \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) na direção \( x \) e \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) na direção \( y \).