int _(-1)^1int _(0)^1int _(0)^2(xz+y^3)dydzdx

Para resolver a integral triplo \(\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (xz + y^3) \, dy \, dz \, dx\), vamos a integrar paso a paso, comenzando con la integral interna en \(y\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} (xz + y^3) \, dy<br />\]<br /><br />Para integrar en \(y\), consideramos \(xz\) como una constante:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} xz \, dy + \int_{0}^{2} y^3 \, dy<br />\]<br /><br />La primera integral es:<br /><br />\[<br />xz \int_{0}^{2} dy = xz \cdot 2 = 2xz<br />\]<br /><br />La segunda integral es:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} y^3 \, dy = \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4<br />\]<br /><br />Entonces, la integral en \(y\) se simplifica a:<br /><br />\[<br />2xz + 4<br />\]<br /><br />Ahora, integramos en \(z\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} (2xz + 4) \, dz<br />\]<br /><br />Para integrar en \(z\), consideramos \(2x\) como una constante:<br /><br />\[<br />2x \int_{0}^{1} z \, dz + 4 \int_{0}^{1} dz<br />\]<br /><br />La primera integral es:<br /><br />\[<br />2x \int_{0}^{1} z \, dz = 2x \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2x \cdot \frac{1}{2} = x<br />\]<br /><br />La segunda integral es:<br /><br />\[<br />4 \int_{0}^{1} dz = 4 \cdot 1 = 4<br />\]<br /><br />Entonces, la integral en \(z\) se simplifica a:<br /><br />\[<br />x + 4<br />\]<br /><br />Finalmente, integramos en \(x\):<br /><br />\[<br />\int_{-1}^{1} (x + 4) \, dx<br />\]<br /><br />Para integrar en \(x\), consideramos \(4\) como una constante:<br /><br />\[<br />\int_{-1}^{1} x \, dx + 4 \int_{-1}^{1} 1 \, dx<br />\]<br /><br />La primera integral es:<br /><br />\[<br />\int_{-1}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0<br />\]<br /><br />La segunda integral es:<br /><br />\[<br />4 \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 4 \cdot 2 = 8<br />\]<br /><br />Entonces, la integral en \(x\) se simplifica a:<br /><br />\[<br />0 + 8 = 8<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral triplo é:<br /><br />\[<br />\boxed{8}<br />\]