3. preço de uma mercadoria sofre aumentos de 5% a cada semestre Deter- mine o preço inicial dessa mercadoria se, ao final de 18 meses ela'estiver com um valor de R 69,457,50.

Para determinar o preço inicial da mercadoria, podemos usar a fórmula de crescimento exponencial:<br /><br />\[ P = P_0 \times (1 + r)^n \]<br /><br />onde:<br />- \( P \) é o preço final da mercadoria,<br />- \( P_0 \) é o preço inicial da mercadoria,<br />- \( r \) é a taxa de crescimento (em forma decimal),<br />- \( n \) é o número de períodos de crescimento.<br /><br />No caso em questão, temos:<br />- \( P = R\$ 69,457,50 \),<br />- \( r = 5\% = 0,05 \) (em forma decimal),<br />- \( n = 18 \) meses.<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ 69,457,50 = P_0 \times (1 + 0,05)^{18} \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro dos parênteses, temos:<br /><br />\[ 69,457,50 = P_0 \times (1,05)^{18} \]<br /><br />Para encontrar o valor de \( P_0 \), podemos isolar a variável na fórmula:<br /><br />\[ P_0 = \frac{69,457,50}{(1,05)^{18}} \]<br /><br />Calculando o valor dentro do denominador, temos:<br /><br />\[ P_0 = \frac{69,457,50}{(1,05)^{18}} \approx \frac{69,457,50}{2,2886} \]<br /><br />Portanto, o preço inicial da mercadoria é aproximadamente R$ 30,38.