35. Determine o conjunto solução da inequacáo (2sen^2x+senx-1)/(senx-1)gt 0 para xin [0,2pi ]

Para determinar o conjunto solução da inequação \(\frac{2\sin^2(x) + \sin(x) - 1}{\sin(x) - 1} > 0\) para \(x \in [0, 2\pi]\), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Encontrar os pontos críticos da função:**<br /><br /> Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o numerador ou o denominador é zero.<br /><br /> - Numerador: \(2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0\)<br /><br /> Resolvendo essa equação quadrática em \(\sin(x)\):<br /><br /> \[<br /> 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0<br /> \]<br /><br /> Usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br /> \[<br /> \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br /> \]<br /><br /> onde \(a = 2\), \(b = 1\), e \(c = -1\):<br /><br /> \[<br /> \sin(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}<br /> \]<br /><br /> Portanto, as soluções são:<br /><br /> \[<br /> \sin(x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad \sin(x) = \frac{-4}{4} = -1<br /> \]<br /><br /> Assim, temos:<br /><br /> \[<br /> \sin(x) = \frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad \sin(x) = -1<br /> \]<br /><br /> - Denominador: \(\sin(x) - 1 = 0\)<br /><br /> \[<br /> \sin(x) = 1<br /> \]<br /><br />2. **Determine os intervalos onde a expressão é positiva:**<br /><br /> Agora, vamos analisar os intervalos entre os pontos críticos encontrados:<br /><br /> - Para \(\sin(x) = \frac{1}{2}\):<br /><br /> \[<br /> x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}<br /> \]<br /><br /> - Para \(\sin(x) = -1\):<br /><br /> \[<br /> x = \frac{3\pi}{2}<br /> \]<br /><br /> - Para \(\sin(x) = 1\):<br /><br /> \[<br /> x = \frac{\pi}{2}<br /> \]<br /><br /> Agora, vamos verificar os sinais da expressão em cada intervalo:<br /><br /> - Para \(x \in [0, \frac{\pi}{6})\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é positivo e crescente, então \(\sin(x) < \frac{1}{2}\).<br /><br /> - Para \(x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é positivo e crescente, então \(\sin(x) > \frac{1}{2}\).<br /><br /> - Para \(x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é positivo e decrescente, então \(\sin(x) > \frac{1}{2}\).<br /><br /> - Para \(x \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é negativo, então \(\sin(x) < -1\).<br /><br /> - Para \(x \in (\frac{3\pi}{2}, \pi)\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é negativo e crescente, então \(\sin(x) < -1\).<br /><br /> - Para \(x \in (\pi, \frac{5\pi}{6})\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é negativo e decrescente, então \(\sin(x) < -1\).<br /><br /> - Para \(x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi)\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é negativo e decrescente, então \(\sin(x) < -1\).<br /><br /> - Para \(x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é negativo e crescente, então \(\sin(x) < -1\).<br /><br /> - Para \(x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\):<br /><br /> \(\sin(x)\) é negativo e decrescente, então \(\sin(x) < -1\).<br /><br /> - Para \(x \in (\pi, \frac{3