6. Use a técnica de substitução para determinar a integral indefinida. a. int 12x(6x^2-1)^3dx b. int x^2(2-3x^3)^3/2dx

Para resolver essas integrais indefinidas usando a técnica de substituição, vamos seguir os passos detalhados para cada uma delas.<br /><br />### a. \(\int 12x(6x^{2}-1)^{3}dx\)<br /><br />1. **Substituição:**<br /> Vamos fazer a substituição \( u = 6x^2 - 1 \). Então, \( du = 12x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{12x} \).<br /><br />2. **Reescrevendo a Integral:**<br /> Substituindo \( u \) e \( du \) na integral, temos:<br /> \[<br /> \int 12x(6x^2 - 1)^3 \, dx = \int u^3 \, du<br /> \]<br /><br />3. **Integrando:**<br /> Agora, integramos \( u^3 \):<br /> \[<br /> \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4}<br /> \]<br /><br />4. **Substituindo de Volta:**<br /> Substituímos \( u \) de volta para \( 6x^2 - 1 \):<br /> \[<br /> \frac{(6x^2 - 1)^4}{4}<br /> \]<br /><br />Portanto, a integral indefinida é:<br />\[<br />\int 12x(6x^2 - 1)^3 \, dx = \frac{(6x^2 - 1)^4}{4} + C<br />\]<br /><br />### b. \(\int x^{2}(2-3x^{3})^{3/2}dx\)<br /><br />1. **Substituição:**<br /> Vamos fazer a substituição \( u = 2 - 3x^3 \). Então, \( du = -9x^2 \, dx \) ou \( x^2 \, dx = -\frac{du}{9} \).<br /><br />2. **Reescrevendo a Integral:**<br /> Substituindo \( u \) e \( du \) na integral, temos:<br /> \[<br /> \int x^2 (2 - 3x^3)^{3/2} \, dx = \int \left(-\frac{u^{3/2}}{9}\right) \, du<br /> \]<br /><br />3. **Integrando:**<br /> Agora, integramos \( u^{3/2} \):<br /> \[<br /> \int u^{3/2} \, du = \frac{2u^{5/2}}{5}<br /> \]<br /><br />4. **Multiplicando pela Constante:**<br /> Multiplicamos pela constante \(-\frac{1}{9}\):<br /> \[<br /> -\frac{1}{9} \cdot \frac{2u^{5/2}}{5} = -\frac{2u^{5/2}}{45}<br /> \]<br /><br />5. **Substituindo de Volta:**<br /> Substituímos \( u \) de volta para \( 2 - 3x^3 \):<br /> \[<br /> -\frac{2(2 - 3x^3)^{5/2}}{45}<br /> \]<br /><br />Portanto, a integral indefinida é:<br />\[<br />\int x^2 (2 - 3x^3)^{3/2} \, dx = -\frac{2(2 - 3x^3)^{5/2}}{45} + C<br />\]<br /><br />Espero que esses passos detalhados ajudem a entender como resolver essas integrais usando a técnica de substituição!