Vocé precisa determinar a área de um terreno irregular para estimar o investimento necessáno para aquisção do mesmo. Avaliando o terreno vocé percebeu que poderia representar os limites do terreno por duas funçōes sendo f(x)=5x-x^2eg(x)=x Determine o custo deste terreno limitado pelas duas funçoes, sabendo que ele vale RS150.00/m^2 Arredonde a área final para duas casas decimais e assinale a alternativa correta.

Para determinar a área do terreno irregular limitado pelas duas funções \( f(x) = 5x - x^2 \) e \( g(x) = x \), precisamos encontrar o ponto de interseção entre as duas funções. Vamos resolver isso passo a passo:<br /><br />1. **Encontrar o ponto de interseção:**<br /> Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as duas funções:<br /> \[<br /> 5x - x^2 = x<br /> \]<br /> Simplificando a equação:<br /> \[<br /> 5x - x^2 = x \implies -x^2 + 5x - x = 0 \implies -x^2 + 4x = 0<br /> \]<br /> Fatorando a equação:<br /> \[<br /> -x(x - 4) = 0<br /> \]<br /> Portanto, temos dois pontos de interseção: \( x = 0 \) e \( x = 4 \).<br /><br />2. **Calcular as coordenadas \( y \) correspondentes:**<br /> Para \( x = 0 \):<br /> \[<br /> f(0) = 5(0) - 0^2 = 0 \quad \text{e} \quad g(0) = 0<br /> \]<br /> Para \( x = 4 \):<br /> \[<br /> f(4) = 5(4) - 4^2 = 20 - 16 = 4 \quad \text{e} \quad g(4) = 4<br /> \]<br /><br />3. **Calcular a área entre as curvas:**<br /> A área entre as curvas \( f(x) \) e \( g(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = 4 \) é dada pela integral:<br /> \[<br /> \text{Área} = \int_{0}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx<br /> \]<br /> Substituindo as funções:<br /> \[<br /> \text{Área} = \int_{0}^{4} (5x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx<br /> \]<br /><br />4. **Resolver a integral:**<br /> \[<br /> \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx = \int_{0}^{4} 4x \, dx - \int_{0}^{4} x^2 \, dx<br /> \]<br /> Calculando cada integral separadamente:<br /> \[<br /> \int_{0}^{4} 4x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = 4 \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 4 \times 8 = 32<br /> \]<br /> \[<br /> \int_{0}^{4} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3}<br /> \]<br /> Portanto, a área é:<br /> \[<br /> \text{Área} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \, \text{m}^2<br /> \]<br /><br />5. **Calcular o custo total:**<br /> O custo total é dado pelo produto da área pelo valor por metro quadrado:<br /> \[<br /> \text{Custo total} = 10,67 \, \text{m}^2 \times 150 \, \text{R\$}/\text{m}^2 = 1590,50 \, \text{R\$}<br /> \]<br /><br />Portanto, o custo total para aquisição do terreno é aproximadamente **1590,50 R$**.