4. Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar são classificados como satisfatório (S) e insatisfatório (I) Assuma que, se num dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é de (2)/(5) e que, uma vez regis- trado I, tem-se (1)/(5) de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte. a) Qual é a probabilidade do quarto dia ser S,se o primeiro dia é l? b) 0 que se pode dizer a longo prazo sobre a probabilidade de termos dias Soul?

Vamos resolver as questões passo a passo:<br /><br />### a) Probabilidade do quarto dia ser S, se o primeiro dia é I<br /><br />Para calcular a probabilidade do quarto dia ser S, dado que o primeiro dia é I, precisamos considerar a sequência de probabilidades:<br /><br />1. **Primeiro dia é I**: \( P(I) = 1 \)<br />2. **Segundo dia é S dado que o primeiro dia é I**: \( P(S|I) = \frac{1}{5} \)<br />3. **Terceiro dia é S dado que o primeiro dia é I e o segundo dia é S**: \( P(S|I \cap S) = \frac{2}{5} \)<br />4. **Quarto dia é S dado que os três dias anteriores são S**: \( P(S|S \cap S \cap S) = \frac{2}{5} \)<br /><br />Vamos calcular a probabilidade acumulada:<br /><br />\[ P(S \text{ no quarto dia} | I) = P(S \text{ no segundo dia} | I) \times P(S \text{ no terceiro dia} | I \cap S) \times P(S \text{ no quarto dia} | I \cap S \cap S) \]<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[ P(S \text{ no quarto dia} | I) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{1 \times 2 \times 2}{5 \times 5 \times 5} = \frac{4}{125} \]<br /><br />Portanto, a probabilidade do quarto dia ser S, se o primeiro dia é I, é \( \frac{4}{125} \).<br /><br />### b) Probabilidade de termos dias S ao longo do tempo<br /><br />Para determinar a probabilidade de termos dias S ao longo do tempo, precisamos calcular a probabilidade de ter um dia S em qualquer dia dado. Isso pode ser feito considerando a probabilidade de transição de um dia para outro.<br /><br />Vamos calcular a probabilidade de ter um dia S em qualquer dia dado:<br /><br />\[ P(S) = P(S|S) \times P(S) + P(S|I) \times P(I) \]<br /><br />Sabemos que:<br /><br />- \( P(S|S) = \frac{2}{5} \)<br />- \( P(S|I) = \frac{1}{5} \)<br />- \( P(I) = 1 \) (porque estamos considerando a probabilidade de qualquer dia ser S)<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[ P(S) = \frac{2}{5} \times P(S) + \frac{1}{5} \times 1 \]<br /><br />Para encontrar \( P(S) \), precisamos resolver a equação:<br /><br />\[ P(S) = \frac{2}{5} \times P(S) + \frac{1}{5} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 5 para simplificar:<br /><br />\[ 5P(S) = 2P(S) + 1 \]<br /><br />\[ 5P(S) - 2P(S) = 1 \]<br /><br />\[ 3P(S) = 1 \]<br /><br />\[ P(S) = \frac{1}{3} \]<br /><br />Portanto, a probabilidade de termos dias S ao longo do tempo é \( \frac{1}{3} \).