{x-2 y+z=0 2 x+y-3 z=-5 4 x-y-z=-1.

Para resolver o sistema de equações lineares, podemos usar o método de eliminação ou o método de substituição. Vou utilizar o método de eliminação para resolver esse sistema.<br /><br />Primeiro, vamos eliminar o termo \(x\) da segunda equação. Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda equação:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />2(x - 2y + z) &= 2 \cdot 0 \\<br />2x - 4y + 2z &= 0 \\<br />2x + y - 3z &= -5 \\<br />\hline<br />-5y + 5z &= -5 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora, vamos simplificar a equação:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />-5y + 5z &= -5 \\<br />-5y &= -5 - 5z \\<br />y &= \frac{5 + 5z}{5} \\<br />y &= 1 + z \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Em seguida, substituímos o valor de \(y\) na primeira equação para eliminar o termo \(y\):<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />x - 2(1 + z) + z &= 0 \\<br />x - 2 - 2z + z &= 0 \\<br />x - z &= 2 \\<br />x &= z + 2 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Por fim, substituímos os valores de \(x\) e \(y\) na terceira equação para eliminar o termo \(x\):<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />4(z + 2) - (1 + z) - z &= -1 \\<br />4z + 8 - 1 - z - z &= -1 \\<br />2z + 7 &= -1 \\<br />2z &= -8 \\<br />z &= -4 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Agora que encontramos o valor de \(z\), podemos substituí-lo nos valores de \(x\) e \(y\) para encontrar os valores correspondentes:<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />x &= z + 2 \\<br />x &= -4 + 2 \\<br />x &= -2 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />\[<br />\begin{aligned}<br />y &= 1 + z \\<br />y &= 1 + (-4) \\<br />y &= -3 \\<br />\end{aligned}<br />\]<br /><br />Portanto, a solução para o sistema de equações é \(x = -2\), \(y = -3\) e \(z = -4\).