Funçōes trigonométricas possuem um papel importante e diversas aplicações na nossa vida A sua periodicidade torna essas funções muito interessantes para descrever certos fenômenos que acontecem com regularidade Seja n um número natural e f(x)=sen^n(x)+sen(x^n) Assinale a alternativa que apresenta f'(x) a. nsen^n-1(x)cos(x)+ncos(x^n)x^n-1 b. nsen^n-1(x)cos(x)+ncos(x)x^n-1 c. nsen^n-1(x)cos(x^n)+ncos(x^n)x^n-1 d ncos^n-1(x)sen(x)+ncos(x^n)x^n-1 e. nsen(x)cos(x)+ncos(x^n)x^n-1

Para encontrar a derivada de $f(x) = \sin^n(x) + \sin(x^n)$, podemos usar a regra da cadeia e a regra do produto.<br /><br />Primeiro, vamos derivar $\sin^n(x)$. Podemos reescrever isso como $(\sin(x))^n$. Usando a regra do produto, temos:<br /><br />$\frac{d}{dx}(\sin(x))^n = n(\sin(x))^{n-1} \cdot \cos(x)$<br /><br />Agora, vamos derivar $\sin(x^n)$. Usando a regra da cadeia, temos:<br /><br />$\frac{d}{dx}(\sin(x^n)) = \cos(x^n) \cdot \frac{d}{dx}(x^n) = \cos(x^n) \cdot nx^{n-1}$<br /><br />Somando as derivadas, temos:<br /><br />$f'(x) = n(\sin(x))^{n-1} \cdot \cos(x) + \cos(x^n) \cdot nx^{n-1}$<br /><br />Portanto, a alternativa correta é a letra c: $nsen^{n-1}(x)cos(x^{n})+ncos(x^{n})x^{n-1}$.