18) Dados os vetores overrightarrow (u)=3overrightarrow (e)_(1)+2overrightarrow (e)_(2)-overrightarrow (e)_(3)eoverrightarrow (v)=moverrightarrow (e)_(1)+noverrightarrow (f)_(2)+overrightarrow (f)_(3) , em relação às bases g_(0) e 8.de terminar men para que os vetores overrightarrow (u) eủ sejam paralelos , sabendo-se que overrightarrow (f)_(1)=3overrightarrow (e)_(1)+overrightarrow (e)_(3),overrightarrow (f)_(2)=2overrightarrow (e)_(2) overrightarrow (f)_(3)=2overrightarrow (e)_(1)-overrightarrow (e)_(3)

Para que os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ sejam paralelos, é necessário que exista um escalar $\lambda$ tal que $\overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{v}$.<br /><br />Dado que $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{e}_{1} + 2\overrightarrow{e}_{2} - \overrightarrow{e}_{3}$ e $\overrightarrow{v} = m\overrightarrow{e}_{1} + n\overrightarrow{e}_{2} + \overrightarrow{f}_{3}$, podemos escrever:<br /><br />$\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{e}_{1} + 2\overrightarrow{e}_{2} - \overrightarrow{e}_{3}$<br /><br />$\overrightarrow{v} = m\overrightarrow{e}_{1} + n\overrightarrow{e}_{2} + (3\overrightarrow{e}_{1} + \overrightarrow{e}_{3})$<br /><br />Para que $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ sejam paralelos, devemos ter:<br /><br />$3\overrightarrow{e}_{1} + 2\overrightarrow{e}_{2} - \overrightarrow{e}_{3} = \lambda (m\overrightarrow{e}_{1} + n\overrightarrow{e}_{2} + 3\overrightarrow{e}_{1} + \overrightarrow{e}_{3})$<br /><br />Comparando os coeficientes das componentes, temos:<br /><br />$3 = \lambda m + 3\lambda$<br /><br />$2 = \lambda n$<br /><br />$-1 = \lambda$<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos $\lambda = -1$, $m = 2$ e $n = -2$. Portanto, para que os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ sejam paralelos, é necessário que $m = 2$ e $n = -2$.