1. Soit f la fonction définie sur 0;(1)/(4) par: f(x)=(1-2sqrt (x))^3 a) Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle.J à déterminer. b) Calculer f((1)/(16)) et en déduire (f^-1)'((1)/(8))

a) Pour montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle, nous devons montrer que f est strictement monotone sur cet intervalle. Pour cela, nous devons calculer la dérivée de f et montrer qu'elle est strictement positive ou négative sur cet intervalle.<br /><br />Calculons la dérivée de f :<br />$f'(x) = 3(1-2\sqrt{x})^2 \cdot \frac{-1}{\sqrt{x}}$<br /><br />Puisque $1-2\sqrt{x} < 0$ pour tout $x \in (0, \frac{1}{4})$, nous avons $f'(x) < 0$ pour tout $x \in (0, \frac{1}{4})$. Donc, f est strictement décroissante sur cet intervalle.<br /><br />Ainsi, f admet une fonction réciproque définie sur l'intervalle $(0, \frac{1}{4})$.<br /><br />b) Calculons $f(\frac{1}{16})$ :<br />$f(\frac{1}{16}) = (1-2\sqrt{\frac{1}{16}})^3 = (1-\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$<br /><br />Maintenant, nous devons calculer $(f^{-1})'(\frac{1}{8})$. Pour cela, nous devons utiliser la formule de la dérivée de la fonction réciproque :<br />$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$<br /><br />Nous savons que $f(\frac{1}{16}) = \frac{1}{8}$, donc $f^{-1}(\frac{1}{8}) = \frac{1}{16}$.<br /><br />Calculons $f'(f^{-1}(\frac{1}{8}))$ :<br />$f'(f^{-1}(\frac{1}{8})) = f'(\frac{1}{16}) = 3(1-2\sqrt{\frac{1}{16}})^2 \cdot \frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{16}}} = 3(\frac{1}{2})^2 \cdot (-4) = -6$<br /><br />Donc, $(f^{-1})'(\frac{1}{8}) = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.