32) (FUVE ST-SP) Para quais valores de a o sistema linear ) x+y+z=1 2x+3y+4z=a -y-2z=a^2 admite solução?

Para determinar os valores de \(a\) para os quais o sistema linear possui solução, podemos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan.<br /><br />Primeiro, escrevemos o sistema de equações na forma de matriz aumentada:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 1 & | & 1 \\<br />2 & 3 & 4 & | & a \\<br />0 & -1 & -2 & | & a^2<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos operações elementares para transformar a matriz na forma escalonada reduzida:<br /><br />1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 1 & | & 1 \\<br />0 & 1 & 2 & | & a - 2 \\<br />0 & -1 & -2 & | & a^2<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />2. Adicionamos a segunda linha à terceira linha:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 1 & | & 1 \\<br />0 & 1 & 2 & | & a - 2 \\<br />0 & 1 & 2 & | & a^2 - 2<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />3. Subtraímos a segunda linha da terceira linha:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 1 & | & 1 \\<br />0 & 1 & 2 & | & a - 2 \\<br />0 & 0 & 0 & | & a^2 - a<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Para que o sistema tenha solução, a última linha deve ser consistente. Isso significa que \(a^2 - a = 0\). Resolvendo essa equação, encontramos \(a(a - 1) = 0\), o que implica que \(a = 0\) ou \(a = 1\).<br /><br />Portanto, o sistema linear possui solução para \(a = 0\) ou \(a = 1\).