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determin uma primitiva para a funcai [ f(x)=4 sec ^2 x-3 x+2 (. ) ]

Pergunta

determin uma primitiva para a funcai
[
f(x)=4 sec ^2 x-3 x+2 (. )
]

determin uma primitiva para a funcai [ f(x)=4 sec ^2 x-3 x+2 (. ) ]

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KauanProfissional · Tutor por 6 anos

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Para determinar uma primitiva para a função \( f(x) = 4 \sec^2(x) - 3x + 2 \), precisamos encontrar uma função \( F(x) \) tal que \( F'(x) = f(x) \).<br /><br />Vamos analisar cada termo da função:<br /><br />1. **Termo \( 4 \sec^2(x) \)**:<br /> - A derivada de \( \sec(x) \) é \( \sec(x) \tan(x) \).<br /> - Portanto, a derivada de \( \sec^2(x) \) é \( 2 \sec(x) \sec(x) \tan(x) = 2 \sec^2(x) \tan(x) \).<br /> - Multiplicando por 4, temos \( 4 \cdot 2 \sec^2(x) \tan(x) = 8 \sec^2(x) \tan(x) \).<br /><br />2. **Termo \( -3x \)**:<br /> - A derivada de \( -3x \) é \( -3 \).<br /><br />3. **Termo constante \( 2 \)**:<br /> - A derivada de uma constante é zero.<br /><br />Agora, somamos essas derivadas:<br /><br />\[ f(x) = 8 \sec^2(x) \tan(x) - 3 \]<br /><br />Para encontrar a primitiva, integramos cada termo separadamente:<br /><br />1. **Integral de \( 8 \sec^2(x) \tan(x) \)**:<br /> - Usamos a substituição \( u = \sec(x) \), então \( du = \sec(x) \tan(x) dx \).<br /> - Assim, \( \int 8 \sec^2(x) \tan(x) dx = 8 \int \sec^2(x) \tan(x) dx = 8u du \).<br /> - Integramos: \( \int 8u du = 8 \cdot \frac{u^2}{2} = 4u^2 = 4 \sec^2(x) \).<br /><br />2. **Integral de \( -3x \)**:<br /> - Usamos a fórmula básica da integral: \( \int -3x dx = -\frac{3x^2}{2} \).<br /><br />3. **Integral de \( 2 \)**:<br /> - A integral de uma constante é a constante multiplicada pela variável de integração: \( \int 2 dx = 2x \).<br /><br />Somamos todos os termos:<br /><br />\[ F(x) = 4 \sec^2(x) - \frac{3x^2}{2} + 2x + C \]<br /><br />onde \( C \) é a constante de integração.<br /><br />Portanto, uma primitiva para a função \( f(x) = 4 \sec^2(x) - 3x + 2 \) é:<br /><br />\[ F(x) = 4 \sec^2(x) - \frac{3x^2}{2} + 2x + C \]
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