8. iint _(S)(x^2+y^2)dS S é o superficie com equação vetorial r(u,v)=langle 2wv,u^2-v^2,u^2+v^2rangle ,u^2+v^2leqslant 1

Para resolver a integral de superfície \(\iint_{S} (x^2 + y^2) dS\), onde \(S\) é a superfície dada pela equação vetorial \(r(u, v) = \langle 2wv, u^2 - v^2, u^2 + v^2 \rangle\) para \(u^2 + v^2 \leq 1\), podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Calcular o vetor normal à superfície \( \mathbf{n} \)**:<br /> Primeiro, precisamos calcular o vetor tangente \(\mathbf{t}\) para a superfície. Para isso, calculamos as derivadas parciais de \(r\) em relação a \(u\) e \(v\):<br /><br /> \[<br /> \mathbf{r}_u = \frac{\partial r}{\partial u} = \langle 0, 2u, 2u \rangle<br /> \]<br /> \[<br /> \mathbf{r}_v = \frac{\partial r}{\partial v} = \langle 2w, -2v, 2v \rangle<br /> \]<br /><br /> Em seguida, calculamos o produto cruzado desses vetores para obter o vetor normal \(\mathbf{n}\):<br /><br /> \[<br /> \mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix}<br /> \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br /> 0 & 2u & 2u \\<br /> 2w & -2v & 2v<br /> \end{vmatrix}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \mathbf{n} = \mathbf{i} (2u \cdot 2v - 2u \cdot 2v) - \mathbf{j} (0 \cdot 2v - 2u \cdot 2w) + \mathbf{k} (0 \cdot -2v - 2u \cdot 2w)<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \mathbf{n} = \mathbf{i} (0) - \mathbf{j} (-4uw) + \mathbf{k} (-4uw)<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \mathbf{n} = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle<br /> \]<br /><br />2. **Calcular a integral de superfície**:<br /> Agora, substituímos \(x = 2wv\), \(y = u^2 - v^2\), e \(z = u^2 + v^2\) na integral e usamos a expressão para \(dS\):<br /><br /> \[<br /> dS = \mathbf{n} \cdot d\mathbf{S} = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot d\mathbf{S}<br /> \]<br /><br /> Como \(d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, du \, dv\), temos:<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dS = \langle 0, 4uw, -4uw \rangle \cdot \langle \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v, du \, dv \rangle<br />