(23) f(x)=(5-x^2)^1 / 2(x^3+1)^1 / 4

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = (5 - x^2)^{12}(x^3 + 1)^{1/4} \), podemos usar a regra do produto e a regra da cadeia.<br /><br />Primeiro, vamos derivar a primeira função, \( (5 - x^2)^{12} \). Usando a regra da cadeia, temos:<br /><br />\( \frac{d}{dx}[(5 - x^2)^{12}] = 12(5 - x^2)^{11} \cdot (-2x) = -24x(5 - x^2)^{11} \)<br /><br />Agora, vamos derivar a segunda função, \( (x^3 + 1)^{1/4} \). Novamente, usando a regra da cadeia, temos:<br /><br />\( \frac{d}{dx}[(x^3 + 1)^{1/4}] = \frac{1}{4}(x^3 + 1)^{-3/4} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{4(x^3 + 1)^{3/4}} \)<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra do produto para encontrar a derivada da função \( f(x) \):<br /><br />\( f'(x) = \frac{d}{dx}[(5 - x^2)^{12}(x^3 + 1)^{1/4}] \)<br /><br />\( f'(x) = (5 - x^2)^{12} \cdot \frac{3x^2}{4(x^3 + 1)^{3/4}} + (x^3 + 1)^{1/4} \cdot (-24x(5 - x^2)^{11}) \)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\( f'(x) = \frac{3x^2(5 - x^2)^{12}}{4(x^3 + 1)^{3/4}} - 24x(5 - x^2)^{11}(x^3 + 1)^{1/4} \)<br /><br />Portanto, a derivada da função \( f(x) = (5 - x^2)^{12}(x^3 + 1)^{1/4} \) é:<br /><br />\( f'(x) = \frac{3x^2(5 - x^2)^{12}}{4(x^3 + 1)^{3/4}} - 24x(5 - x^2)^{11}(x^3 + 1)^{1/4} \)