15. log_(sqrt (27))sqrt [3](9)= 16. log_((1)/(sqrt (3)))sqrt (27)=

15. Para resolver essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />$log_{\sqrt {27}}\sqrt [3]{9}$<br /><br />Podemos reescrever $\sqrt {27}$ como $27^{1/2}$ e $\sqrt [3]{9}$ como $9^{1/3}$.<br /><br />$log_{27^{1/2}}9^{1/3}$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, podemos mover o expoente para o exterior do logaritmo.<br /><br />$\frac{1}{2}log_{27}9^{1/3}$<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade do logaritmo de uma raiz.<br /><br />$\frac{1}{2}log_{27}3^{2/3}$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma potência novamente, podemos mover o expoente para o exterior do logaritmo.<br /><br />$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}log_{27}3$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\frac{1}{3}log_{27}3$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma potência novamente, podemos mover o expoente para o exterior do logaritmo.<br /><br />$\frac{1}{3} \cdot 1$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\frac{1}{3}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é $\frac{1}{3}$.<br /><br />16. Para resolver essa expressão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />$log_{\frac {1}{\sqrt {3}}}\sqrt {27}$<br /><br />Podemos reescrever $\frac {1}{\sqrt {3}}$ como $3^{-1/2}$ e $\sqrt {27}$ como $27^{1/2}$.<br /><br />$log_{3^{-1/2}}27^{1/2}$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, podemos mover o expoente para o exterior do logaritmo.<br /><br />$- \frac{1}{2}log_{3}27^{1/2}$<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade do logaritmo de uma raiz.<br /><br />$- \frac{1}{2}log_{3}3^{3/2}$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma potência novamente, podemos mover o expoente para o exterior do logaritmo.<br /><br />$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}log_{3}3$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$- \frac{3}{4}log_{3}3$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo de uma potência novamente, podemos mover o expoente para o exterior do logaritmo.<br /><br />$- \frac{3}{4} \cdot 1$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$- \frac{3}{4}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é $- \frac{3}{4}$.