6. Dadas as retas r: (t-5)x+2y-10=0 e s: -3x+ty=0 determine o valor de t para que sejam a) paralelas. b) perpendiculares.

Para determinar o valor de \( t \) para que as retas \( r \) e \( s \) sejam paralelas ou perpendiculares, precisamos analisar as equações das retas e comparar seus coeficientes.<br /><br />### a) Retas paralelas<br /><br />Duas retas são paralelas se e somente se seus coeficientes direcionais forem proporcionais. Ou seja, se \( r: (t-5)x + 2y - 10 = 0 \) e \( s: -3x + ty = 0 \), então:<br /><br />\[<br />\frac{t-5}{-3} = \frac{2}{t}<br />\]<br /><br />Resolvendo essa proporção:<br /><br />\[<br />(t-5)t = -3 \cdot 2<br />\]<br /><br />\[<br />t^2 - 5t = -6<br />\]<br /><br />\[<br />t^2 - 5t + 6 = 0<br />\]<br /><br />Resolvendo a equação quadrática:<br /><br />\[<br />t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}<br />\]<br /><br />\[<br />t = \frac{5 \pm 1}{2}<br />\]<br /><br />\[<br />t = 3 \quad \text{ou} \quad t = 2<br />\]<br /><br />Portanto, as retas \( r \) e \( s \) são paralelas para \( t = 3 \) ou \( t = 2 \).<br /><br />### b) Retas perpendiculares<br /><br />Duas retas são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes direcionais for igual a -1. Ou seja, se \( r: (t-5)x + 2y - 10 = 0 \) e \( s: -3x + ty = 0 \), então:<br /><br />\[<br />(t-5)(-3) = 2t<br />\]<br /><br />Resolvendo essa equação:<br /><br />\[<br />-3(t-5) = 2t<br />\]<br /><br />\[<br />-3t + 15 = 2t<br />\]<br /><br />\[<br />15 = 5t<br />\]<br /><br />\[<br />t = 3<br />\]<br /><br />Portanto, as retas \( r \) e \( s \) são perpendiculares para \( t = 3 \).<br /><br />### Resumo<br /><br />- Para que as retas \( r \) e \( s \) sejam paralelas, \( t \) deve ser igual a 3 ou 2.<br />- Para que as retas \( r \) e \( s \) sejam perpendiculares, \( t \) deve ser igual a 3.