Uma das aplicaçōes para produto vetorial é o cáiculo de areas de algumas figuras geométricas, já que o módulo do produto vetorial dos vetores overrightarrow (u) e overrightarrow (v) mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores overrightarrow (u)=overrightarrow (AB) e overrightarrow (v)=overrightarrow (AC) Dessa forma, considere no espaço um triângulo cujos vértices sào A(2,3,-1),B(1,5,-2) C=(1,9,-2) Com base na informação apresentada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 1. Aárea desse triângulo é 2sqrt (2) POIS II. A norma do seguinte produto vetorial Vert overrightarrow (BA)times overrightarrow (BC)vert =4sqrt (2) 1. Sobre as asserçoes assinale a alternativa correta a seguir. Alternativas A) As assercoes ie II salo proposiçoes verdadeiras mas all nào uma justificativa correta da I. B) Aasser(30)e uma proposição verdadeira e a asserção II éuma proposição falsa C) A assercao 16 uma proposição falsa, ea asserção lié uma proposição verdadeira D) As assercoes le II sao proposiçoes falsas E) As assercoeste II salo proposiçoes verdadeira:ealle uma justificativa correta dal

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das asserções e verificar sua veracidade.<br /><br />Asserção I: A área desse triângulo é $2\sqrt {2}$.<br /><br />Para calcular a área de um triângulo, podemos usar a fórmula da área baseada no produto vetorial. Nesse caso, temos os vetores $\overrightarrow {BA}$ e $\overrightarrow {BC}$, que representam os lados do triângulo. Vamos calcular esses vetores:<br /><br />$\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {A} - \overrightarrow {B} = (2,3,-1) - (1,5,-2) = (1,-2,1)$<br /><br />$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {C} - \overrightarrow {B} = (1,9,-2) - (1,5,-2) = (0,4,0)$<br /><br />Agora, podemos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores:<br /><br />$\overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />1 & -2 & 1 \\<br />0 & 4 & 0<br />\end{vmatrix} = (0, -4, 8)$<br /><br />A norma desse produto vetorial é:<br /><br />$\Vert \overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} \Vert = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$<br /><br />Portanto, a asserção I está incorreta, pois a área do triângulo não é $2\sqrt {2}$.<br /><br />Asserção II: A norma do seguinte produto vetorial $\Vert \overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} \Vert = 4\sqrt {2}$.<br /><br />Como calculado anteriormente, a norma do produto vetorial é $4\sqrt{5}$, e não $4\sqrt{2}$. Portanto, a asserção II também está incorreta.<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br /><br />D) As asserções I e II são proposições falsas.