2) Determine a de modo que 2 seja a raiz do polimônivis [ p(x)=x^3+a x^2-19 x+2 ]

Para determinar a raiz do polinômio \( p(x) = x^3 + ax^2 - 19x + 2 \), podemos usar o Teorema das Raízes Racionais. Este teorema afirma que se um número racional \( \frac{p}{q} \) é uma raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, então \( p \) deve ser um fator do termo constante e \( q \) deve ser um fator do coeficiente líder.<br /><br />No caso do polinômio dado, o termo constante é 2 e o coeficiente líder é 1. Portanto, as possíveis raízes racionais são \( \pm 1 \) e \( \pm 2 \).<br /><br />Vamos testar essas possíveis raízes:<br /><br />1. Testando \( x = 1 \):<br /> \[<br /> p(1) = 1^3 + a(1)^2 - 19(1) + 2 = 1 + a - 19 + 2 = a - 16<br /> \]<br /> Para que \( x = 1 \) seja uma raiz, \( p(1) \) deve ser igual a zero:<br /> \[<br /> a - 16 = 0 \implies a = 16<br /> \]<br /><br />2. Testando \( x = -1 \):<br /> \[<br /> p(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 19(-1) + 2 = -1 + a + 19 + 2 = a + 20<br /> \]<br /> Para que \( x = -1 \) seja uma raiz, \( p(-1) \) deve ser igual a zero:<br /> \[<br /> a + 20 = 0 \implies a = -20<br /> \]<br /><br />3. Testando \( x = 2 \):<br /> \[<br /> p(2) = 2^3 + a(2)^2 - 19(2) + 2 = 8 + 4a - 38 + 2 = 4a - 28<br /> \]<br /> Para que \( x = 2 \) seja uma raiz, \( p(2) \) deve ser igual a zero:<br /> \[<br /> 4a - 28 = 0 \implies a = 7<br /> \]<br /><br />4. Testando \( x = -2 \):<br /> \[<br /> p(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - 19(-2) + 2 = -8 + 4a + 38 + 2 = 4a + 32<br /> \]<br /> Para que \( x = -2 \) seja uma raiz, \( p(-2) \) deve ser igual a zero:<br /> \[<br /> 4a + 32 = 0 \implies a = -8<br /> \]<br /><br />Portanto, as possíveis raízes racionais são \( x = 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) e \( x = -2 \). Para determinar qual dessas é uma raiz do polinômio, substituímos esses valores em \( p(x) \) e verificamos se o resultado é igual a zero.