02. A soma das medidas dos raios de duas esferas é 20 cm e 0 fuso de 60^circ de uma delas tem a mesma área que o fuso de 30^circ da outra. Calcule as medidas dos raios dessas esferas.

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula da área de uma esfera e a relação entre os ângulos e os raios das esferas.<br /><br />Vamos chamar de \( r_1 \) o raio da primeira esfera e de \( r_2 \) o raio da segunda esfera.<br /><br />Sabemos que a soma dos raios das duas esferas é 20 cm, ou seja:<br /><br />\[ r_1 + r_2 = 20 \]<br /><br />Também sabemos que a área do fuso de \( 60^\circ \) da primeira esfera é igual à área do fuso de \( 30^\circ \) da segunda esfera. Vamos calcular essas áreas.<br /><br />A área de um fuso de ângulo \( \theta \) em uma esfera de raio \( r \) é dada por:<br /><br />\[ A = 2 \pi r^2 \sin(\theta) \]<br /><br />Para o fuso de \( 60^\circ \) da primeira esfera:<br /><br />\[ A_1 = 2 \pi r_1^2 \sin(60^\circ) \]<br /><br />Para o fuso de \( 30^\circ \) da segunda esfera:<br /><br />\[ A_2 = 2 \pi r_2^2 \sin(30^\circ) \]<br /><br />Sabemos que \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). Substituindo esses valores, temos:<br /><br />\[ A_1 = 2 \pi r_1^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi r_1^2 \sqrt{3} \]<br /><br />\[ A_2 = 2 \pi r_2^2 \cdot \frac{1}{2} = \pi r_2^2 \]<br /><br />De acordo com a condição dada, as áreas são iguais:<br /><br />\[ \pi r_1^2 \sqrt{3} = \pi r_2^2 \]<br /><br />Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por \( \pi \):<br /><br />\[ r_1^2 \sqrt{3} = r_2^2 \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \( r_2^2 \):<br /><br />\[ \sqrt{3} = \frac{r_2^2}{r_1^2} \]<br /><br />Elevando ambos os lados ao quadrado:<br /><br />\[ 3 = \frac{r_2^2}{r_1^2} \]<br /><br />\[ 3 r_1^2 = r_2^2 \]<br /><br />\[ r_2 = \sqrt{3} r_1 \]<br /><br />Agora, substituímos essa relação na primeira equação:<br /><br />\[ r_1 + \sqrt{3} r_1 = 20 \]<br /><br />\[ r_1 (1 + \sqrt{3}) = 20 \]<br /><br />\[ r_1 = \frac{20}{1 + \sqrt{3}} \]<br /><br />Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador por \( 1 - \sqrt{3} \):<br /><br />\[ r_1 = \frac{20 (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \]<br /><br />\[ r_1 = \frac{20 (1 - \sqrt{3})}{1 - 3} \]<br /><br />\[ r_1 = \frac{20 (1 - \sqrt{3})}{-2} \]<br /><br />\[ r_1 = -10 (1 - \sqrt{3}) \]<br /><br />\[ r_1 = 10 (\sqrt{3} - 1) \]<br /><br />\[ r_2 = \sqrt{3} r_1 = \sqrt{3} \cdot 10 (\sqrt{3} - 1) \]<br /><br />\[ r_2 = 10 (3 - \sqrt{3}) \]<br /><br />Portanto, as medidas dos raios das duas esferas são:<br /><br />\[ r_1 = 10 (\sqrt{3} - 1) \]<br /><br />\[ r_2 = 10 (3 - \sqrt{3}) \]