PERGUNTA 11 A distância entre o ponto P=(2,5,7) e a reta ) x=1+2t y=-3t z=2 é igual a:

Para calcular a distância entre um ponto e uma reta, podemos usar a fórmula da distância. A fórmula é dada por:<br /><br />\[ d = \frac{\left\| \vec{PM} \right\|}{\left\| \vec{v} \right\|} \]<br /><br />onde \(\vec{PM}\) é o vetor entre o ponto \(P\) e um ponto \(M\) na reta, e \(\vec{v}\) é o vetor diretor da reta.<br /><br />Primeiro, precisamos encontrar um ponto \(M\) na reta. Podemos fazer isso substituindo valores diferentes de \(t\) na equação da reta para encontrar pontos específicos. Vamos usar \(t = 0\) para encontrar o ponto \(M\):<br /><br />\[ \begin{matrix} x = 1 + 2(0) = 1 \\ y = -3(0) = 0 \\ z = 2 \end{matrix} \]<br /><br />Portanto, o ponto \(M\) é \((1, 0, 2)\).<br /><br />Agora, podemos calcular o vetor \(\vec{PM}\):<br /><br />\[ \vec{PM} = \begin{pmatrix} 2 - 1 = 1 \\ 5 - 0 = 5 \\ 7 - 2 = 5 \end{pmatrix} \]<br /><br />Em seguida, calculamos o vetor diretor da reta, que é dado pela diferença entre dois pontos consecutivos na reta. Vamos usar \(t = 1\) para encontrar um segundo ponto na reta:<br /><br />\[ \begin{matrix} x = 1 + 2(1) = 3 \\ y = -3(1) = -3 \\ z = 2 \end{matrix} \]<br /><br />Portanto, o segundo ponto na reta é \((3, -3, 2)\).<br /><br />O vetor diretor da reta é:<br /><br />\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 - 1 = 2 \\ -3 - 0 = -3 \\ 2 - 2 = 0 \end{pmatrix} \]<br /><br />Agora, podemos calcular a distância usando a fórmula da distância:<br /><br />\[ d = \frac{\left\| \vec{PM} \right\|}{\left\| \vec{v} \right\|} \]<br /><br />Calculando os módulos dos vetores:<br /><br />\[ \left\| \vec{PM} \right\| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51} \]<br /><br />\[ \left\| \vec{v} \right\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \]<br /><br />Portanto, a distância é:<br /><br />\[ d = \frac{\sqrt{51}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{51}{13}} \]<br /><br />Simplificando a fração dentro da raiz quadrada:<br /><br />\[ \frac{51}{13} \approx 3.923 \]<br /><br />Portanto, a distância é aproximadamente:<br /><br />\[ d \approx \sqrt{3.923} \approx 1.98 \]<br /><br />Portanto, a distância entre o ponto \(P\) e a reta é aproximadamente \(1.98\) unidades.