Seja Sa porção superior de uma esfera que int intercepta o plano z=0 na circunferência x^2+y^2=1 se bar (F)(x,y,z)=(y,-x,e^x) iint _(R)[(overline (Vx)bar (F))cdot overrightarrow (n)]cdot dS A. I a.-2pi b. A. C. -(2)/(pi ) d. 2n. e. -pi

Para resolver a integral dupla dada, vamos primeiro calcular o rotacional do vetor campo $$\bar{F}(x, y, z) = (y, -x, e^x)$$ .

O rotacional de um vetor campo $$\bar{F}$$ é dado por $$\nabla \times \bar{F}$$ , onde $$\nabla$$ é o operador nabla. O operador nabla é definido como $$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$$ , onde $$\hat{i}$$ , $$\hat{j}$$ e $$\hat{k}$$ são os vetores unitários nas direções $$x$$ , $$y$$ e $$z$$ , respectivamente.

Calculando o rotacional de $$\bar{F}$$ , temos:

$$\nabla \times \bar{F} = \left(\frac{\partial}{\partial y}e^x - \frac{\partial}{\partial z}(-x), \frac{\partial}{\partial z}y - \frac{\partial}{\partial x}e^x, \frac{\partial}{\partial x}(-x) - \frac{\partial}{\partial y}y\right) = (e^x, 0, -2)$$

Agora, vamos calcular a integral dupla $$\iint_R[(\nabla \times \bar{F})\cdot \overrightarrow{n}]\cdot dS$$ , onde $$R$$ é a superfície superior da esfera que intercepta o plano $$z=0$$ na circunferência $$x^2+y^2=1$$ .

A normal à superfície $$R$$ é dada por $$\overrightarrow{n} = \frac{\nabla z}{|\nabla z|}$$ . Como a superfície $$R$$ é a parte superior da esfera, podemos escrever $$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$$ .

Calculando $$\nabla z$$ , temos:

$$\nabla z = \left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, -\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}, 1\right)$$

Portanto, $$\overrightarrow{n} = \frac{(-x, -y, 1)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$$ .

Substituindo $$\nabla \times \bar{F}$$ e $$\overrightarrow{n}$$ na integral dupla, temos:

$$\iint_R[(\nabla \times \bar{F})\cdot \overrightarrow{n}]\cdot dS = \iint_R[(e^x, 0, -2)\cdot \frac{(-x, -y, 1)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}]\cdot dS$$

Simplificando, temos:

$$\iint_R[\frac{-e^x x - 2(-y)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}]\cdot dS$$

Como a circunferência $$x^2+y^2=1$$ é uma circunferência unitária, podemos fazer a substituição $$x = \sin(\theta)$$ e $$y = \cos(\theta)$$ , onde $$\theta$$ varia de $$0$$ a $$2\pi$$ .

A integral se torna:

$$\iint_R[\frac{-e^{\sin(\theta)} \sin(\theta) + 2\cos(\theta)}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)-\cos^2(\theta)}}]\cdot dS$$

Simplificando ainda mais, temos:

$$\iint_R[\frac{-e^{\sin(\theta)} \sin(\theta) + 2\cos(\theta)}{1}]\cdot dS$$

Como a integral é independente de $$\theta$$ , podemos calcular a integral em relação a $$\theta$$ :

$$\int_0^{2\pi}[\frac{-e^{\sin(\theta)} \sin(\theta) + 2\cos(\theta)}{1}]\cdot d\theta$$

Esta integral é difícil de calcular diretamente, mas podemos usar uma técnica chamada de integração por partes para simplificar a expressão.

Aplicando a fórmula de integração por partes $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ , escolhemos $$u = \sin(\theta)$$ e $$dv = e^{\sin(\theta)} \sin(\theta) \, d\theta$$ .

Então, $$du = \cos(\theta) \, d\theta$$ e $v = \int e^{\sin(\theta)} \sin