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Matemática
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sum_(k=1)^infty (1)/(sqrt(k)+1)

Pergunta

sum_(k=1)^infty (1)/(sqrt(k)+1)

sum_(k=1)^infty (1)/(sqrt(k)+1)

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GeovannaElite · Tutor por 8 anos

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série \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}+1} \) é uma série infinita que pode ser avaliada usando o teste de convergência. Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o teste de comparação ou o teste de integral.<br /><br />No caso do teste de integral, podemos considerar a função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+1} \) para \( x \geq 1 \). Podemos calcular a integral imprópria de \( f(x) \) em \( [1, \infty) \) e verificar se ela converge.<br /><br />A integral imprópria é dada por:<br /><br />\[ \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} \]<br /><br />Podemos fazer uma substituição \( u = \sqrt{x} + 1 \), então \( du = \frac{dx}{2\sqrt{x}} \). A integral se torna:<br /><br />\[ \int_{2}^{\infty} \frac{2du}{u} = 2 \int_{2}^{\infty} \frac{du}{u} = 2 \ln|u| \Big|_{2}^{\infty} = 2 \lim_{b \to \infty} (\ln b - \ln 2) = 2 \lim_{b \to \infty} \ln \left(\frac{b}{2}\right) = \infty \]<br /><br />Como a integral imprópria diverge, concluímos que a série \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}+1} \) também diverge.
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