Verifique se equação d ferencial é homogênea c em caso afirmativo resolva-a satisfazendo a condição de contorno (dy)/(dx)=(xy)/(x^2)-y^(2), y(1)=1 Escolha uma opção: a (x^2)/(y^2)-2lnvert (y)/(z)vert =lnvert xvert b 3xy^2-lnvert (y)/(x)vert =lnvert (y)/(x)vert +2 -x^2y-2lnvert (y)/(x)vert =lnvert xvert -1 d -(x^2)/(y^2)-e^(y)/(x)=lnvert (y)/(x)vert -(3)/(4) e -(x^2)/(2y^2)-lnvert (y)/(x)vert =lnvert xvert -(1)/(2)

equação diferencial dada é homogênea, pois todos os termos são de mesmo grau em x e y. Para resolver essa equação, podemos usar a técnica de separação de variáveis.<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por $(x^2 - y^2)$, obtemos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} \cdot (x^2 - y^2) = xy$<br /><br />Agora, podemos separar as variáveis:<br /><br />$\frac{dy}{y} = \frac{x dx}{x^2 - y^2}$<br /><br />Integrando ambos os lados, obtemos:<br /><br />$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x dx}{x^2 - y^2}$<br /><br />A integral do lado esquerdo é simples:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{x dx}{x^2 - y^2}$<br /><br />Para resolver a integral do lado direito, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Definindo $y = x \sinh(\theta)$, temos:<br /><br />$\int \frac{x dx}{x^2 - y^2} = \int \frac{x dx}{x^2 - x^2 \sinh^2(\theta)} = \int \frac{x dx}{x^2 (1 - \sinh^2(\theta))} = \int \frac{dx}{x (1 - \sinh^2(\theta))} = \int \frac{dx}{x \cosh^2(\theta)}$<br /><br />A integral é agora mais simples:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{dx}{x \cosh^2(\theta)}$<br /><br />Usando a identidade trigonométrica $\cosh^2(\theta) = \frac{e^2\theta + 1}{2}$, obtemos:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{dx}{x \frac{e^2\theta + 1}{2}} = \int \frac{2 dx}{x (e^2\theta + 1)}$<br /><br />A integral é agora mais simples:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{2 dx}{x (e^2\theta + 1)}$<br /><br />Usando a substituição $u = e^2\theta + 1$, temos:<br /><br />$\ln|y| = \int \frac{2 du}{u^2 x} = \int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C$<br /><br />Substituindo $u = e^2\theta + 1$, temos:<br /><br />$\ln|y| = -\frac{1}{e^2\theta + 1} + C$<br /><br />Agora, podemos usar a condição de contorno $y(1) = 1$ para encontrar o valor de $C$. Substituindo $x = 1$ e $y = 1$ na equação, obtemos:<br /><br />$\ln|1| = -\frac{1}{e^2\theta + 1} + C$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$0 = -\frac{1}{e^2\theta + 1} + C$<br /><br />Portanto, $C = \frac{1}{e^2\theta + 1}$.<br /><br />A solução geral da equação diferencial é então:<br /><br />$\ln|y| = -\frac{1}{e^2\theta + 1} + \frac{1}{e^2\theta + 1}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\ln|y| = 0$<br /><br />Portanto, a solução é $y = e^C$, onde $C$ é uma constante arbitrária.<br /><br />Comparando com as opções fornecidas, a resposta correta é a opção c) $-x^2y - 2\ln|y/x| = \ln|x| - 1$.