irracional. 3) Mostre que, para cada inteiro ngt 1 , temos: 1cdot 2+2cdot 3+... +(n-1)cdot n=(1)/(3)(n-1)n(n+1)

Para mostrar que a igualdade é verdadeira para cada inteiro $n > 1$, podemos usar um método de indução matemática. Vamos começar com a base da indução, ou seja, verificar se a igualdade é verdadeira para $n = 2$.<br /><br />Para $n = 2$, temos:<br />$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$<br /><br />E a expressão da direita:<br />$\frac{1}{3}(2-1) \cdot 2 \cdot (2+1) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$<br /><br />Portanto, a igualdade é verdadeira para $n = 2$.<br /><br />Agora, vamos assumir que a igualdade é verdadeira para um inteiro $k > 1$, ou seja:<br />$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + (k-1) \cdot k = \frac{1}{3}(k-1)k(k+1)$<br /><br />Queremos mostrar que a igualdade também é verdadeira para $n = k+1$, ou seja:<br />$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k \cdot (k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$<br /><br />Podemos reescrever a expressão da esquerda adicionando $k \cdot (k+1)$:<br />$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + (k-1) \cdot k + k \cdot (k+1)$<br /><br />Usando a hipótese de indução, substituímos a parte anterior pela expressão equivalente:<br />$\frac{1}{3}(k-1)k(k+1) + k(k+1)$<br /><br />Fatorando $k(k+1)$:<br />$k(k+1) \left( \frac{1}{3}(k-1) + 1 \right)$<br /><br />Simplificando dentro dos parênteses:<br />$k(k+1) \left( \frac{1}{3}k - \frac{1}{3} + 1 \right)$<br />$k(k+1) \left( \frac{1}{3}k + \frac{2}{3} \right)$<br />$k(k+1) \cdot \frac{1}{3} (k + 2)$<br /><br />Multiplicando por $\frac{1}{3}$:<br />$\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$<br /><br />Portanto, a igualdade é verdadeira para $n = k+1$.<br /><br />Concluímos que a igualdade é verdadeira para todos os inteiros $n > 1$ por indução matemática.