A prova tem duração de 1:3011111 1. Vendadeiro ou falso?Justifique. (a) Se B=AA^TA então B^T=B (b) AB=0 então A=0ouB=0 (c) Se det (A)=1 então A^-1=A (d) Se Aé uma matriz, então AA^T também é invertivel. 2.Dada uma matriz sabendo-se que B=[} -1 0 ] sistema AX=B A=CD onde C^-1=[} 3&2 1&3 resolva o 3. Seja A=[} 0&0&0&1 -2&0&0&-4 0&0&1&4 1&1&0&1 ] (a) Calcule a inversa de A. (b) Resolva o sistema Ax=0

1. <br />(a) Verdadeiro. Se $B=AA^{T}A$, então $B^{T}=(AA^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T}A^{T}A=A^{T}AA^{T}A=B$.<br />(b) Falso. Se $AB=0$, isso não implica necessariamente que $A=0$ ou $B=0$. Pode ser que ambos sejam matrizes não nulas, mas cujo produto seja a matriz zero.<br />(c) Falso. Se det$(A)=1$, isso não implica necessariamente que $A^{-1}=A$. A inversa de uma matriz é o inverso da matriz original, não a própria matriz.<br />(d) Verdadeiro. Se $A$ é uma matriz, então $AA^{T}$ também é invertível. Isso ocorre porque $AA^{T}$ é uma matriz simétrica e semelhante à matriz identidade.<br /><br />2. Para resolver o sistema $AX=B$, onde $A=CD$, podemos usar a propriedade de que $A^{-1} = (CD)^{-1} = D^{-1}C^{-1}$. Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$D^{-1}C^{-1} = [\begin{matrix} 2&5\\ 3&-2\end{matrix} ][\begin{matrix} 3&2\\ 1&3\end{matrix} ] = [\begin{matrix} 6+10&4+15\\ 9-6&-6-6\end{matrix} ] = [\begin{matrix} 16&19\\ 3&-12\end{matrix} ]$<br /><br />Portanto, $A^{-1} = [\begin{matrix} 16&19\\ 3&-12\end{matrix} ]$. Agora, podemos resolver o sistema $AX=B$ multiplicando ambos os lados por $A^{-1}$:<br /><br />$A^{-1}AX = A^{-1}B$<br /><br />$I X = A^{-1}B$<br /><br />$X = A^{-1}B$<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$X = [\begin{matrix} 16&19\\ 3&-12\end{matrix} ] [\begin{matrix} -1\\ 0\end{matrix} ] = [\begin{matrix} -16+0\\ -3+0\end{matrix} ] = [\begin{matrix} -16\\ -3\end{matrix} ]$<br /><br />Portanto, a solução do sistema é $x = [\begin{matrix} -16\\ -3\end{matrix} ]$.<br /><br />3. <br />(a) Para calcular a inversa de $A$, podemos usar o método da eliminação de Gauss-Jordan. Aplicando operações elementares em $A$, podemos transformá-lo em uma matriz identidade e, ao mesmo tempo, obter sua inversa. Aplicando essas operações, obtemos:<br /><br />$[\begin{matrix} 0&0&0&1\\ -2&0&0&-4\\ 0&0&1&4\\ 1&1&0&1\end{matrix}] \rightarrow [\begin{matrix} 1&0&0&0\\ -2&0&0&-4\\ 0&0&1&4\\ 0&1&0&1\end{matrix}] \rightarrow [\begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&-4\\ 0&0&1&4\\ 0&1&0&1\end{matrix}] \rightarrow [\begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&4\\ 0&0&1&4\\ 0&1&0&1\end{matrix}] \rightarrow [\begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&4\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&1\end{matrix}]$<br /><br />Portanto, a inversa de $A$ é $A^{-1} = [\begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&4\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&1\end{matrix}]$.<br /><br />(b) Para resolver o sistema $Ax=0$, podemos usar o método da eliminação de Gauss-Jordan. Aplicando operações elementares em $A$, podemos reduzir a matriz a uma forma escalonada e, em seguida, usar essa forma para encontrar as soluções do sistema. Aplic