Questão 07 Dois drones se movem nos planos de equação pi _(1):x+2y+z+5=0epi _(2):2x-y-3=0 respectivamente. Considere as seguintes afirmativas com relação ao enunciado da questão: I. Os drones se movem em planos perpendiculares. II. O plano passa pela origem do sistema de coordenadas. III. O plano pi _(2) é paralelo ao plano z É correto o que se afirma em:

Para analisar as afirmativas, vamos examinar cada uma delas:<br /><br />**I. Os drones se movem em planos perpendiculares.**<br /><br />Para verificar se dois planos são perpendiculares, precisamos analisar os vetores normais a esses planos. <br /><br />- O vetor normal ao plano \(\pi_1: x + 2y + z + 5 = 0\) é \(\mathbf{n_1} = (1, 2, 1)\).<br />- O vetor normal ao plano \(\pi_2: 2x - y - 3 = 0\) é \(\mathbf{n_2} = (2, -1, 0)\).<br /><br />Dois planos são perpendiculares se o produto escalar de seus vetores normais for zero:<br /><br />\[<br />\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0<br />\]<br /><br />Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares. Portanto, a afirmativa I é correta.<br /><br />**II. O plano passa pela origem do sistema de coordenadas.**<br /><br />Um plano passa pela origem se, ao substituir \(x = 0\), \(y = 0\) e \(z = 0\) na equação do plano, a equação for satisfeita.<br /><br />Para o plano \(\pi_1: x + 2y + z + 5 = 0\):<br /><br />\[<br />0 + 2(0) + 0 + 5 = 5 \neq 0<br />\]<br /><br />Portanto, o plano \(\pi_1\) não passa pela origem.<br /><br />Para o plano \(\pi_2: 2x - y - 3 = 0\):<br /><br />\[<br />2(0) - 0 - 3 = -3 \neq 0<br />\]<br /><br />Portanto, o plano \(\pi_2\) também não passa pela origem.<br /><br />A afirmativa II é incorreta.<br /><br />**III. O plano \(\pi_2\) é paralelo ao plano z.**<br /><br />O plano \(\pi_2: 2x - y - 3 = 0\) pode ser reescrito como \(y = 2x - 3\). Este plano não possui a variável \(z\), o que significa que ele é paralelo ao eixo \(z\), mas não ao plano \(z\).<br /><br />A afirmativa III é incorreta.<br /><br />Portanto, apenas a afirmativa I é correta. A resposta correta é:<br /><br />**I.**