12 (UFU-MG)Funçōes afins e quadráticas têm aplicações em alguns mode- los simples envolvendo os conceitos preçode venda e custode produção de uma mercadoria , bem comoa receita eolucroobtidos com suavenda. Para uma empresa , é fundamental determinar o intervalo de produção em que a receita supera o custo de produção. Suponha que o custo de produção de uma mercadoria de certa empresa, em função da quanti- dade produzida X seja dado pela função C(x)=40x+1400(c_(0)=1400 e denominado custo fixo de produção) e que o preço de venda seja p(x)= -2X+200em que X é a quantidade demandada (vendida). Nesse caso, a receita R obtida com as vendas é função de X precisamente R(x)=x p(x) As quantidades produzidas e vendidas x para as quais essa empresa tem lucro L(x)=R(x)-C(x) positivo (receita supera o custo de produção) é ) xin vert xgt 40 C) xin vert 10lt xlt 70 b) xin vert 0lt xlt 10 d) xin vert 10lt xlt 40

Para determinar o intervalo de produção em que a receita supera o custo de produção, precisamos encontrar as quantidades \( x \) para as quais a função de lucro \( L(x) = R(x) - C(x) \) é positiva.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a função de lucro \( L(x) \):<br /><br />\[ L(x) = R(x) - C(x) \]<br /><br />Sabemos que:<br /><br />\[ R(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (-2x + 200) = -2x^2 + 200x \]<br /><br />\[ C(x) = 40x + 1400 \]<br /><br />Portanto, o lucro \( L(x) \) é:<br /><br />\[ L(x) = (-2x^2 + 200x) - (40x + 1400) \]<br />\[ L(x) = -2x^2 + 200x - 40x - 1400 \]<br />\[ L(x) = -2x^2 + 160x - 1400 \]<br /><br />Para que a empresa tenha lucro positivo, precisamos que \( L(x) > 0 \):<br /><br />\[ -2x^2 + 160x - 1400 > 0 \]<br /><br />Para encontrar o intervalo onde essa inequação é verdadeira, podemos resolver a equação quadrática correspondente:<br /><br />\[ -2x^2 + 160x - 1400 = 0 \]<br /><br />Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação:<br /><br />\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde \( a = -2 \), \( b = 160 \) e \( c = -1400 \):<br /><br />\[ x = \frac{-160 \pm \sqrt{160^2 - 4(-2)(-1400)}}{2(-2)} \]<br />\[ x = \frac{-160 \pm \sqrt{25600 - 11200}}{-4} \]<br />\[ x = \frac{-160 \pm \sqrt{14400}}{-4} \]<br />\[ x = \frac{-160 \pm 120}{-4} \]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br /><br />\[ x_1 = \frac{-160 + 120}{-4} = \frac{-40}{-4} = 10 \]<br />\[ x_2 = \frac{-160 - 120}{-4} = \frac{-280}{-4} = 70 \]<br /><br />Portanto, as raízes da equação são \( x = 10 \) e \( x = 70 \).<br /><br />Para determinar o intervalo onde \( L(x) > 0 \), precisamos analisar o coeficiente de \( x^2 \) na função quadrática. Como o coeficiente de \( x^2 \) é negativo (\( -2 \)), a parábola abre para baixo, o que significa que o intervalo onde \( L(x) \) é positivo está entre as raízes.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />c) \( \{ x \in \mathbb{R} \mid 10 < x < 70 \} \)