int _(0)^3int _(0)^42x+3x^2ydydx

Para resolver a integral dupla dada, primeiro vamos integrar em relação a \( y \) e depois em relação a \( x \).<br /><br />A integral dupla é:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (2x + 3x^2y) \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Primeiro, vamos integrar em relação a \( y \):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{4} (2x + 3x^2y) \, dy<br />\]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{4} 2x \, dy + \int_{0}^{4} 3x^2y \, dy<br />\]<br /><br />Para a primeira parte:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{4} 2x \, dy = 2x \int_{0}^{4} dy = 2x \cdot 4 = 8x<br />\]<br /><br />Para a segunda parte:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{4} 3x^2y \, dy = 3x^2 \int_{0}^{4} y \, dy = 3x^2 \cdot \frac{4^2}{2} = 3x^2 \cdot 8 = 24x^2<br />\]<br /><br />Somando as duas partes:<br /><br />\[<br />8x + 24x^2<br />\]<br /><br />Agora, integramos essa expressão em relação a \( x \):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} (8x + 24x^2) \, dx<br />\]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} 8x \, dx + \int_{0}^{3} 24x^2 \, dx<br />\]<br /><br />Para a primeira parte:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} 8x \, dx = 8 \int_{0}^{3} x \, dx = 8 \cdot \frac{3^2}{2} = 8 \cdot \frac{9}{2} = 36<br />\]<br /><br />Para a segunda parte:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{3} 24x^2 \, dx = 24 \int_{0}^{3} x^2 \, dx = 24 \cdot \frac{3^3}{3} = 24 \cdot 9 = 216<br />\]<br /><br />Somando as duas partes:<br /><br />\[<br />36 + 216 = 252<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla é \( 252 \).