10. Calcule o valor das integrais impróprias e determine se convergem. int _(0)^infty e^-xdx b) int _(-infty )^-1(1)/(x^2/3)dx

Vamos calcular e analisar cada uma das integrais impróprias fornecidas:<br /><br />a) \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx\)<br /><br />Para calcular essa integral, primeiro precisamos determinar se ela converge. Podemos fazer isso substituindo \(u = e^{-x}\). Então, \(du = -e^{-x} \, dx\) ou \(dx = -\frac{1}{e^{-x}} \, du\).<br /><br />Reescrevendo a integral em termos de \(u\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = \int_{1}^{0} u \, \left(-\frac{1}{u}\right) \, du = \int_{1}^{0} -1 \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{0} -1 \, du = -\int_{1}^{0} 1 \, du = -[u]_{1}^{0} = -[0 - 1] = -(-1) = 1<br />\]<br /><br />Portanto, a integral \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx\) converge e seu valor é 1.<br /><br />b) \(\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{2/3}} \, dx\)<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos determinar se ela converge. Podemos fazer isso substituindo \(u = x^{1/3}\). Então, \(du = \frac{1}{3} x^{-2/3} \, dx\) ou \(dx = 3u^2 \, du\).<br /><br />Reescrevendo a integral em termos de \(u\):<br /><br />\[<br />\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{2/3}} \, dx = \int_{-\infty}^{-1} x^{-2/3} \, dx = \int_{-\infty}^{-1} u^{-2} \cdot 3u^2 \, du = 3 \int_{-\infty}^{-1} u^{-2} \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />\[<br />3 \int_{-\infty}^{-1} u^{-2} \, du = 3 \left[ -u^{-1} \right]_{-\infty}^{-1} = 3 \left[ -\frac{1}{u} \right]_{-\infty}^{-1}<br />\]<br /><br />Evaluando os limites:<br /><br />\[<br />3 \left[ -\frac{1}{u} \right]_{-\infty}^{-1} = 3 \left( -\frac{1}{-1} - \lim_{u \to -\infty} \left( -\frac{1}{u} \right) \right) = 3 \left( 1 - 0 \right) = 3<br />\]<br /><br />Portanto, a integral \(\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{2/3}} \, dx\) converge e seu valor é 3.