. (2 pts)que g'(x)=x^3+x+1 . Determine área de 0 a 1 sobo gráfico da função g. Dica: Nāo foi pedido a área sob o gráfico da funçao g' mas sim da função 9. CUIDADO!

Para determinar a área sob o gráfico da função \( g \) de 0 a 1, precisamos primeiro encontrar a função \( g(x) \) a partir de sua derivada \( g'(x) = x^3 + x + 1 \).<br /><br />Para isso, integramos \( g'(x) \):<br /><br />\[<br />g(x) = \int (x^3 + x + 1) \, dx<br />\]<br /><br />Calculando a integral:<br /><br />\[<br />g(x) = \int x^3 \, dx + \int x \, dx + \int 1 \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />g(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + x + C<br />\]<br /><br />onde \( C \) é a constante de integração. Para determinar \( C \), precisamos de uma condição inicial. Suponha que \( g(0) = 0 \):<br /><br />\[<br />0 = \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} + 0 + C \implies C = 0<br />\]<br /><br />Portanto, a função \( g(x) \) é:<br /><br />\[<br />g(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + x<br />\]<br /><br />Agora, calculamos a área sob o gráfico de \( g \) de 0 a 1:<br /><br />\[<br />\int_0^1 g(x) \, dx = \int_0^1 \left( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + x \right) \, dx<br />\]<br /><br />Calculamos cada termo separadamente:<br /><br />\[<br />\int_0^1 \frac{x^4}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{20}<br />\]<br /><br />\[<br />\int_0^1 \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{6}<br />\]<br /><br />\[<br />\int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Somando esses resultados:<br /><br />\[<br />\int_0^1 g(x) \, dx = \frac{1}{20} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{3}{60} + \frac{10}{60} + \frac{30}{60} = \frac{43}{60}<br />\]<br /><br />Portanto, a área sob o gráfico da função \( g \) de 0 a 1 é \( \frac{43}{60} \).