29 sum _(k=2)^infty (k^2)/(k^2)-1 30 sum _(k=1)^infty (k(k+2))/((k+3)^2) 31 sum _(n=1)^infty (1+2^n)/(3^n) 32 sum _(n=1)^infty (1+3^n)/(2^n)

Vamos analisar cada uma das séries para determinar se elas convergem ou divergem.<br /><br />### 29. \(\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k^2}{k^2 - 1}\)<br /><br />Para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o teste de comparação ou o teste de limites. Vamos usar o teste de limites:<br /><br />\[<br />\lim_{k \to \} \frac{k^2}{k^2 - 1} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{k^2}} = 1<br />\]<br /><br />Como o diferente de zero, a série diverge.<br /><br />### 30. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^2}\)<br /><br />Para essa série, podemos usar o teste de comparação. Compararemos com a série \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^2}\) com \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{k^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{k^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+2}{k}\).<br /><br />\[<br />\frac{k(k+2)}{(k+3)^2} \approx \frac{k(k+2)}{k^2} = \frac{k+2}{k}<br />\]<br /><br />Para \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+2}{k}\), podemos usar o teste de comparação com \(\sum1}^{\infty} 1\), que diverge. Portanto, a série \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^2}\) diverge.<br /><br />### 31. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2^n}{3^n}\)<br /><br />Podemos usar o teste de razão para determinar se essa série converge ou diverge. O teste de razão envolve calcular o limite da razão entre dois termos consecutivos da série:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1+2^{n+1}}{3^{n+1}}}{\frac{1+2^n}{3^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1+2^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{1+2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \leftfrac{1+2}{3} \right| = \frac{3}{3} = 1<br />\]<br /><br />Como o limite é maior que 1, a série diverge.<br /><br />### 32. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^n}{2^n}\)<br /><br />Para essa série, podemos usar o teste de razão:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1+3^{n+1}}{2^{n+}{\frac{1+3^n}{2^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1+3^{n+1}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{1+3^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1+3}{2} \right| = \frac{4}{2} = 2<br />\]<br /><br />Como o limite é maior que 1, a série diverge.<br /><br />Portanto, as séries 29, 30, 31 e 32 todas divergem.