13) Verificar que o triângulo de vértices A=(1,-2,3),B=(4,2,15) e C=(-3,10,0) é retângulo isósceles sendo A o ângulo reto.

Para verificar se o triângulo com vértices \( A = (1, -2, 3) \), \( B = (4, 2, 15) \) e \( C = (-3, 10, 0) \) é um triângulo retângulo isósceles com \( A \) como o ângulo reto, podemos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Calcular os vetores \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{AC} \)**:<br /> \[<br /> \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 1, 2 - (-2), 15 - 3) = (3, 4, 12)<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - 1, 10 - (-2), 0 - 3) = (-4, 12, -3)<br /> \]<br /><br />2. **Calcular o produto escalar \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \)**:<br /> \[<br /> \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (3 \cdot -4) + (4 \cdot 12) + (12 \cdot -3) = -12 + 48 - 36 = 0<br /> \]<br /> O produto escalar é zero, o que indica que \( \overrightarrow{AB} \) é perpendicular a \( \overrightarrow{AC} \), confirmando que \( \angle BAC \) é um ângulo reto.<br /><br />3. **Calcular as magnitudes dos vetores \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{AC} \)**:<br /> \[<br /> \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13<br /> \]<br /> \[<br /> \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 144 + 9} = \sqrt{169} = 13<br /> \]<br /><br />4. **Comparar as magnitudes**:<br /> \[<br /> \|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\| = 13<br /> \]<br /><br />Como os vetores \( \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{AC} \) são ortogonais e têm a mesma magnitude, podemos concluir que o triângulo \( ABC \) é um triângulo retângulo isósceles com \( A \) como o ângulo reto.