primitivo de [ f(x)=(x+2)(sqrt[4](x+3) ]

Para encontrar la derivada de la función \( f(x) = (x+2)(\sqrt[4]{x+3}) \), podemos usar la regla del producto. La regla del producto establece que si tenemos dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), la derivada de su producto es:<br /><br />\[<br />(fg)' = f'g + fg'<br />\]<br /><br />En este caso, \( u(x) = x+2 \) y \( v(x) = \sqrt[4]{x+3} \). Primero, encontramos las derivadas de \( u(x) \) y \( v(x) \):<br /><br />\[<br />u'(x) = 1<br />\]<br /><br />\[<br />v'(x) = \frac{1}{4}(x+3)^{-\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{4}(x+3)^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}(x+3)^{-\frac{1}{4}}<br />\]<br /><br />Ahora, aplicamos la regla del producto:<br /><br />\[<br />f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)<br />\]<br /><br />\[<br />f'(x) = 1 \cdot \sqrt[4]{x+3} + (x+2) \cdot \frac{1}{4}(x+3)^{-\frac{1}{4}}<br />\]<br /><br />Simplificamos la expresión:<br /><br />\[<br />f'(x) = \sqrt[4]{x+3} + \frac{x+2}{4(x+3)^{\frac{1}{4}}}<br />\]<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{4(x+3) + (x+2)}{4(x+3)^{\frac{1}{4}}}<br />\]<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{4x + 12 + x + 2}{4(x+3)^{\frac{1}{4}}}<br />\]<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{5x + 14}{4(x+3)^{\frac{1}{4}}}<br />\]<br /><br />Por lo tanto, la derivada de la función \( f(x) = (x+2)(\sqrt[4]{x+3}) \) es:<br /><br />\[<br />f'(x) = \frac{5x + 14}{4(x+3)^{\frac{1}{4}}}<br />\]