3U. Considere a função f:Rarrow R definida por f(x)=4^x+1 Calcule o valor de x de modo que f(2-x)=2cdot f(x),x=(3)/(4) de de es

Para resolver a equação \( f(2-x) = 2 \cdot f(x) \), onde \( f(x) = 4^{x+1} \), vamos substituir \( f(x) \) na equação e resolver para \( x \).<br /><br />Dado:<br />\[ f(x) = 4^{x+1} \]<br /><br />Substituindo \( f(x) \) na equação:<br />\[ f(2-x) = 2 \cdot f(x) \]<br />\[ 4^{(2-x)+1} = 2 \cdot 4^{x+1} \]<br />\[ 4^{3-x} = 2 \cdot 4^{x+1} \]<br /><br />Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por \( 4^{x+1} \):<br />\[ \frac{4^{3-x}}{4^{x+1}} = 2 \]<br />\[ 4^{3-x - (x+1)} = 2 \]<br />\[ 4^{3 - 2x - 1} = 2 \]<br />\[ 4^{2 - 2x} = 2 \]<br /><br />Sabemos que \( 4 = 2^2 \), então podemos reescrever a equação:<br />\[ (2^2)^{2 - 2x} = 2 \]<br />\[ 2^{2(2 - 2x)} = 2 \]<br />\[ 2^{4 - 4x} = 2 \]<br /><br />Como \( 2 = 2^1 \), podemos igualar os expoentes:<br />\[ 4 - 4x = 1 \]<br />\[ 4 - 1 = 4x \]<br />\[ 3 = 4x \]<br />\[ x = \frac{3}{4} \]<br /><br />Portanto, o valor de \( x \) que satisfaz a equação é:<br />\[ x = \frac{3}{4} \]