(12) Durante sua aula de desenho Isaque desenhou um triangulo equilátero e um quadrado , ambos inscritos em uma mesma circunferência. Sabe-se que a medida do apótema do triângulo desenhado por Isaque é 36 cm. Ao final do trabalho, o professor pediu para que as principais medidas dos dois polligonos estivessem indicadas na figura. Sendo assim, a medida do apótema do quadrado que Isaque deverá indicar é: A) 18sqrt (2)cm B) 36sqrt (2)cm C) 18sqrt (3)cm D) 72sqrt (2)cm E) 72sqrt (3)cm

Para resolver esse problema, precisamos utilizar algumas propriedades dos polígonos inscritos em uma circunferência.<br /><br />Sabemos que o apótema de um triângulo equilátero é dado pela fórmula:<br /><br />\[ \text{Apótema} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{Lado} \]<br /><br />Dado que o apótema do triângulo equilátero é 36 cm, podemos calcular o lado do triângulo:<br /><br />\[ 36 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{Lado} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \( \frac{2}{\sqrt{3}} \), temos:<br /><br />\[ \text{Lado} = 36 \times \frac{2}{\sqrt{3}}24\sqrt{3} \]<br /><br />Agora, precisamos calcular a medida do apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência. Sabemos que o quadrado possui lados iguais ao triângulo equilátero, ou seja, \( 24\sqrt{3} \) cm.<br /><br />Para calcular o apótema do quadrado, utilizamos a fórmula:<br /><br />\[ \text{Apótema} = \frac{\text{Diagonal}}{2} \]<br /><br />A diagonal do quadrado pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:<br /><br />\[ \text{Diagonal} = \sqrt{(\text{Lado})^2 + (\text{Lado})^2} = \sqrt{(24\sqrt{3})^2 + (24\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 \times (24\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 \times 576} = \sqrt{1728} = 24\sqrt{3} \]<br /><br />Portanto, o apótema do quadrado é:<br /><br />\[ \text{Apótema} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />C) \( 18\sqrt{3} \) cm