1. Use regra da cadeia para calcular g'(0) f(u,v)=sqrt (u^2+v^2) u(0)=4 u'(0)=10 v(0)=3 v'(0)=5 2. Use regra da cadeia para calcular g'(8) g(x)=f(u(x),v(x)) nabla f(2,3)=(2,-1) u(x)=sqrt [3](x) g(x,y)=f(u(x,y)) f(u)=cos(u) u(0,0)=(pi )/(6) nabla u(0,0)=(1,2) 4. Use regra da cadeia para calcular nabla g(ln(2),2) g(x,y)=f(u(x,y)) f'(16)=(1)/(4) u(x,y)=e^xy^(2)

1. Para calcular $g'(0)$ usando a regra da cadeia, precisamos calcular a derivada parcial de $f$ em relação a $u$ multiplicada pela derivada de $u$ em relação a $x$, mais a derivada parcial de $f$ em relação a $v$ multiplicada pela derivada de $v$ em relação a $x$. Temos:<br /><br />$g'(0) = \frac{\partial f}{\partial u}(u(0), v(0)) \cdot u'(0) + \frac{\partial f}{\partial v}(u(0), v(0)) \cdot v'(0)$<br /><br />Substituindo os valores dados, temos:<br /><br />$g'(0) = \frac{\partial f}{\partial u}(4, 3) \cdot 10 + \frac{\partial f}{\partial v}(4, 3) \cdot 5$<br /><br />Para calcular $\frac{\partial f}{\partial u}$ e $\frac{\partial f}{\partial v}$, derivamos $f$ em relação a $u$ e $v$ respectivamente:<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial u}(u, v) = \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial v}(u, v) = \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}}$<br /><br />Substituindo $u(0) = 4$ e $v(0) = 3$, temos:<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial u}(4, 3) = \frac{4}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{4}{5}$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial v}(4, 3) = \frac{3}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{3}{5}$<br /><br />Portanto,<br /><br />$g'(0) = \frac{4}{5} \cdot 10 + \frac{3}{5} \cdot 5 = 8 + 3 = 11$<br /><br />2. Para calcular $g'(8)$ usando a regra da cadeia, precisamos calcular a derivada parcial de $f$ em relação a $u$ multiplicada pela derivada de $u$ em relação a $x$, mais a derivada parcial de $f$ em relação a $v$ multiplicada pela derivada de $v$ em relação a $x$. Temos:<br /><br />$g'(8) = \frac{\partial f}{\partial u}(u(8), v(8)) \cdot u'(8) + \frac{\partial f}{\partial v}(u(8), v(8)) \cdot v'(8)$<br /><br />Para calcular $\frac{\partial f}{\partial u}$ e $\frac{\partial f}{\partial v}$, derivamos $f$ em relação a $u$ e $v$ respectivamente:<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial u}(u, v) = \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial v}(u, v) = \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}}$<br /><br />Para calcular $u'(8)$ e $v'(8)$, derivamos $u$ e $v$ respectivamente em relação a $x$:<br /><br />$u'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$<br /><br />$v'(x) = 2xe^{xy^2}$<br /><br />Substituindo $x = 8$, temos:<br /><br />$u'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$<br /><br />$v'(8) = 2 \cdot 8 \cdot e^{8 \cdot 2^2} = 16e^{32}$<br /><br />Para calcular $\frac{\partial f}{\partial u}(u(8), v(8))$ e $\frac{\partial f}{\partial v}(u(8), v(8))$, substituímos $x = 8$ em $u(x)$ e $v(x)$ para obter $u(8)$ e $v(8)$, respectivamente, e depois aplicamos as derivadas parciais:<br /><br />$u(8) = \sqrt[3]{8} = 2$<br /><br />$v(8) = 2 \cdot 8 \cdot e^{8 \cdot 2^2} = 16e^{32}$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial u}(2, 16e^{32}) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + (