1. (4,0) Scja f(x,y)= ) (2x^4)/(x^2)+y^(2)&se&(x,y)neq (0,0) 0&se&(x,y)=(0,0) (a) Determine os pontos de continuidade da função f.

função \( f(x, y) \) é contínua em todos os pontos, exceto no ponto \((0, 0)\). Isso ocorre porque, para \((x, y) \neq (0, 0)\), a função é dada por \( f(x, y) = \frac{2x^4}{x^2 + y^2} \), que é uma função contínua em todos os pontos do plano. No entanto, no ponto \((0, 0)\), a função é definida como \( f(0, 0) = 0 \). Para verificar a continuidade no ponto \((0, 0)\), precisamos verificar se o limite de \( f(x, y) \) quando \((x, y)\) se aproxima de \((0, 0)\) é igual a \( f(0, 0) \). <br /><br />Para isso, podemos usar a desigualdade de Cauchy, que afirma que, para qualquer \(\epsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que, se \(0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta\), então \(|f(x, y) - 0| < \epsilon\). <br /><br />Para a função \( f(x, y) = \frac{2x^4}{x^2 + y^2} \), podemos usar a desigualdade triangular para mostrar que \( |f(x, y)| \leq \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2 \). Portanto, para qualquer \(\epsilon > 0\), podemos escolher \(\delta = \epsilon\) e, se \(0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta\), então \(|f(x, y) - 0| < \epsilon\). <br /><br />Portanto, a função \( f(x, y) \) é contínua em todos os pontos do plano, exceto no ponto \((0, 0)\).