A dorivada da função y=(x^3+3x)/(3x+1) a y=(3x^2+3x)/(3x) B y=(6x^3+3x^2+3)/((3x+1)^2) c. y=(x^2+3x)/((3x+1)) D y=(6x^3+x^2+3)/((3x+1))

Para encontrar a derivada da função \( y = \frac{x^3 + 3x}{3x + 1} \), podemos usar a regra do quociente. A derivada de uma função que é a razão de duas funções é dada pela fórmula:<br /><br />\[<br />\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}<br />\]<br /><br />Para a função \( y = \frac{x^3 + 3x}{3x + 1} \), temos:<br /><br />- \( f(x) = x^3 + 3x \)<br />- \( g(x) = 3x + 1 \)<br /><br />Calculamos as derivadas:<br /><br />- \( f'(x) = 3x^2 + 3 \)<br />- \( g'(x) = 3 \)<br /><br />Aplicando a regra do quociente:<br /><br />\[<br />y' = \frac{(3x^2 + 3)(3x + 1) - (x^3 + 3x)(3)}{(3x + 1)^2}<br />\]<br /><br />Simplificando o numerador:<br /><br />\[<br />(3x^2 + 3)(3x + 1) = 9x^3 + 3x^2 + 9x + 3<br />\]<br /><br />\[<br />(x^3 + 3x)(3) = 3x^3 + 9x<br />\]<br /><br />\[<br />9x^3 + 3x^2 + 9x + 3 - (3x^3 + 9x) = 6x^3 + 3x^2 - 6<br />\]<br /><br />Portanto, a derivada é:<br /><br />\[<br />y' = \frac{6x^3 + 3x^2 - 6}{(3x + 1)^2}<br />\]<br /><br />Comparando com as opções fornecidas:<br /><br />A) \( y = \frac{3x^2 + 3x}{3x} \)<br /><br />B) \( y = \frac{6x^3 + 3x^2 + 3}{(3x + 1)^2} \)<br /><br />C) \( y = \frac{x^2 + 3x}{3x + 1} \)<br /><br />D) \( y = \frac{6x^3 + x^2 + 3}{(3x + 1)} \)<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />B) \( y = \frac{6x^3 + 3x^2 + 3}{(3x + 1)^2} \)