QUESTÃO 5 Considere as funçoes f(x)=lnxsqrt [3](x),g(x)=xcospi xeh(x)=cosxln(senx) Analise as afirmativas seguintes I int lnxsqrt [3](x)dx=xlnsqrt [3](x)-(1)/(3)x+C II int _(0)^1/2xcospi xdx=(pi -2)/(2pi ^2) III int cosxln(senx)dx=senx(lnsenx-1)+C correto o que se afirma em

Para analisar as afirmativas, vamos calcular cada uma delas:<br /><br />I) $\int lnx\sqrt [3]{x}dx$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a propriedade de integração por partes. Seja $u = lnx$ e $dv = \sqrt [3]{x}dx$. Então, $du = \frac{1}{x}dx$ e $v = \frac{3}{4}x^{4/3}$.<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int lnx\sqrt [3]{x}dx = lnx \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} - \int \frac{3}{4}x^{4/3} \cdot \frac{1}{x}dx$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int lnx\sqrt [3]{x}dx = \frac{3}{4}x^{4/3}lnx - \frac{3}{4}\int x^{1/3}dx$<br /><br />Agora, podemos resolver a integral restante:<br /><br />$\int x^{1/3}dx = \frac{3}{4}x^{4/3}$<br /><br />Portanto, a integral original fica:<br /><br />$\int lnx\sqrt [3]{x}dx = \frac{3}{4}x^{4/3}lnx - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int lnx\sqrt [3]{x}dx = \frac{3}{4}x^{4/3}lnx - \frac{9}{16}x^{4/3} + C$<br /><br />Portanto, a afirmativa I está incorreta.<br /><br />II) $\int _{0}^{1/2}xcos\pi xdx$<br /><br />Podemos resolver essa integral usando integração por partes. Seja $u = x$ e $dv = cos\pi xdx$. Então, $du = dx$ e $v = \frac{1}{\pi}sin\pi x$.<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int _{0}^{1/2}xcos\pi xdx = x \cdot \frac{1}{\pi}sin\pi x \bigg|_{0}^{1/2} - \int _{0}^{1/2}\frac{1}{\pi}sin\pi xdx$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int _{0}^{1/2}xcos\pi xdx = \frac{1}{2\pi}sin\pi x \bigg|_{0}^{1/2} - \frac{1}{\pi}\int _{0}^{1/2}sin\pi xdx$<br /><br />Agora, podemos resolver a integral restante:<br /><br />$\int _{0}^{1/2}sin\pi xdx = -\frac{1}{\pi}cos\pi x \bigg|_{0}^{1/2}$<br /><br />Portanto, a integral original fica:<br /><br />$\int _{0}^{1/2}xcos\pi xdx = \frac{1}{2\pi}sin\pi x \bigg|_{0}^{1/2} + \frac{1}{\pi^2}cos\pi x \bigg|_{0}^{1/2}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int _{0}^{1/2}xcos\pi xdx = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi^2} \cdot 0 = \frac{1}{4\pi}$<br /><br />Portanto, a afirmativa II está correta.<br /><br />III) $\int cosxln(senx)dx$<br /><br />Podemos resolver essa integral usando integração por partes. Seja $u = cosx$ e $dv = lnsenxdx$. Então, $du = -sinxdx$ e $v = \frac{1}{senx}lensenx$.<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int cosxln(senx)dx = cosx \cdot \frac{1}{senx}lensenx \bigg|_{0}^{2\pi} - \int _{0}^{2\pi}\frac{1}{senx}lensenxdx$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int cosxln(senx)dx = \frac{1}{senx}lensenx \bigg|