53-58 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. 53. f(x,y)=x^3y^5+2x^4y f(x,y)=sen^2(mx+ny) 55. w=sqrt (u^2+v^2) so y=(xy)/(x-y) 57. z=arctg(x+y)/(1-xy) 58. o = p

53. Para determinar as derivadas parciais de segunda ordem, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente.<br /><br />Dada a função $f(x,y)=x^{3}y^{5}+2x^{4}y$, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2}y^{5} + 8x^{3}y$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial y} = 5x^{3}y^{4} + 2x^{4}$<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:<br /><br />$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 6xy^{5}$<br /><br />$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 20x^{3}y^{3}$<br /><br />$\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 15x^{2}y^{4} + 16x^{3}$<br /><br />54. Para a função $f(x,y)=sen^{2}(mx+ny)$, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial x} = 2msen^{2}(mx+ny)cos(mx+ny)$<br /><br />$\frac{\partial f}{\partial y} = 2nsen^{2}(mx+ny)cos(mx+ny)$<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:<br /><br />$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 2m^{2}sen^{2}(mx+ny)cos^{2}(mx+ny)$<br /><br />$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2n^{2}sen^{2}(mx+ny)cos^{2}(mx+ny)$<br /><br />$\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 2mn sen^{2}(mx+ny)cos^{2}(mx+ny)$<br /><br />55. Para a função $w=\sqrt {u^{2}+v^{2}}$, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:<br /><br />$\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}$<br /><br />$\frac{\partial w}{\partial v} = \frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}$<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:<br /><br />$\frac{\partial^{2} w}{\partial u^{2}} = -\frac{u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}}$<br /><br />$\frac{\partial^{2} w}{\partial v^{2}} = -\frac{v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}}$<br /><br />$\frac{\partial^{2} w}{\partial u \partial v} = 0$<br /><br />56. Para a função $y=\frac {xy}{x-y}$, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:<br /><br />$\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{y}{x-y} - \frac{xy}{(x-y)^{2}}$<br /><br />$\frac{\partial y}{\partial y} = -\frac{x}{x-y}$<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:<br /><br />$\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{-y(x-y) - xy}{(x-y)^{3}}$<br /><br />$\frac{\partial^{2} y}{\partial y^{2}} = \frac{x}{(x-y)^{2}}$<br /><br />$\frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial y} = \frac{-x}{(x-y)^{2}}$<br /><br />57. Para a função $z=arctg\frac {x+y}{1-xy}$, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1+(x+y)^{2}} \cdot \frac{1-xy - (x+y)(-1)}{(1-xy)^{2}}$<br /><br />$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1+(x+y)^{2}} \cdot \frac{-1-xy - (x+y)(1)}{(1-xy)^{2}}$<br /><br />Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:<br /><br />$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{2