Pergunta
7 Considere a equação polinomial 2x^3-6x^2+8x-9=0 Sendo x_(1),x_(2) e X_(3) as raizes da equação, calcule: a) A média aritmética das raizes. b) A soma dos inversos das raizes. c) A soma dos quadrados das raizes.
Solução
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VâniaProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para resolver as questões, primeiro precisamos encontrar as raízes da equação polinomial 2x^3 - 6x^2 + 8x - 9 = 0. Vamos usar o Teorema de Vieta, que nos diz que:
1. A soma das raízes (considerando o coeficiente da x^2 termo como 1) é igual ao negativo do coeficiente do termo linear dividido pelo coeficiente do termo de maior grau.
2. A soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é igual ao coeficiente do termo constante dividido pelo coeficiente do termo de maior grau.
Para a equação 2x^3 - 6x^2 + 8x - 9 = 0, temos:
- Coeficiente do termo de maior grau: 2
- Coeficiente do termo linear: - Coeficiente do termo constante: \(-9
### a) A média aritmética das raízes
A soma das raízes é:
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{8}{2} = -4
A média aritmética das raízes é:
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}
### b) A soma dos inversos das raízes
A soma dos inversos das raízes é:
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}
Podemos usar a soma das raízes para encontrar a soma dos inversos:
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_1 x_2 x_3}
Para encontrar o produto das raízes, usamos o coeficiente do termo constante:
x_1 x_2 x_3 = \frac{-9}{2}
Portanto, a soma dos inversos das raízes é:
\frac{-4}{\frac{-9}{2}} = \frac{-4 \cdot 2}{-9} = \frac{8}{9}
### c) A soma dos quadrados das raízes
A soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é:
x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{-9}{2}
Para encontrar a soma dos quadrados das raízes, usamos a fórmula:
(x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)
Substituindo os valores:
(-4)^2 - 2 \left( \frac{-9}{2} \right) = 16 + 9 = 25 \anto, a soma dos quadrados das raízes é: \[ 25
### Resumo
a) A média aritmética das raízes é -\frac{4}{3}.
b) A soma dos inversos das raízes é \frac{8}{9}.
c) A soma dos quadrados das raízes é 25.
1. A soma das raízes (considerando o coeficiente da x^2 termo como 1) é igual ao negativo do coeficiente do termo linear dividido pelo coeficiente do termo de maior grau.
2. A soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é igual ao coeficiente do termo constante dividido pelo coeficiente do termo de maior grau.
Para a equação 2x^3 - 6x^2 + 8x - 9 = 0, temos:
- Coeficiente do termo de maior grau: 2
- Coeficiente do termo linear: - Coeficiente do termo constante: \(-9
### a) A média aritmética das raízes
A soma das raízes é:
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{8}{2} = -4
A média aritmética das raízes é:
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}
### b) A soma dos inversos das raízes
A soma dos inversos das raízes é:
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}
Podemos usar a soma das raízes para encontrar a soma dos inversos:
\frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_1 x_2 x_3}
Para encontrar o produto das raízes, usamos o coeficiente do termo constante:
x_1 x_2 x_3 = \frac{-9}{2}
Portanto, a soma dos inversos das raízes é:
\frac{-4}{\frac{-9}{2}} = \frac{-4 \cdot 2}{-9} = \frac{8}{9}
### c) A soma dos quadrados das raízes
A soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é:
x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{-9}{2}
Para encontrar a soma dos quadrados das raízes, usamos a fórmula:
(x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)
Substituindo os valores:
(-4)^2 - 2 \left( \frac{-9}{2} \right) = 16 + 9 = 25 \anto, a soma dos quadrados das raízes é: \[ 25
### Resumo
a) A média aritmética das raízes é -\frac{4}{3}.
b) A soma dos inversos das raízes é \frac{8}{9}.
c) A soma dos quadrados das raízes é 25.
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