f(x)=int _(0)^2x^2+cos(x)dx f(x)int _(0)^2x^3+cos(x)dx=Stan(2)+4+

Para resolver a integral dada, primeiro vamos calcular a integral de $x^2 + \cos(x)$ de 0 a 2:<br /><br />$\int_{0}^{2} (x^2 + \cos(x)) dx = \int_{0}^{2} x^2 dx + \int_{0}^{2} \cos(x) dx$<br /><br />Calculando cada parte separadamente:<br /><br />$\int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$<br /><br />$\int_{0}^{2} \cos(x) dx = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2} = \sin(2) - \sin(0) = \sin(2)$<br /><br />Somando as duas partes:<br /><br />$\int_{0}^{2} (x^2 + \cos(x)) dx = \frac{8}{3} + \sin(2)$<br /><br />Agora, vamos calcular a integral de $x^3 + \cos(x)$ de 0 a 2:<br /><br />$\int_{0}^{2} (x^3 + \cos(x)) dx = \int_{0}^{2} x^3 dx + \int_{0}^{2} \cos(x) dx$<br /><br />Calculando cada parte separadamente:<br /><br />$\int_{0}^{2} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$<br /><br />$\int_{0}^{2} \cos(x) dx = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2} = \sin(2) - \sin(0) = \sin(2)$<br /><br />Somando as duas partes:<br /><br />$\int_{0}^{2} (x^3 + \cos(x)) dx = 4 + \sin(2)$<br /><br />Agora, podemos calcular a expressão dada:<br /><br />$f(x) = \int_{0}^{2} (x^2 + \cos(x)) dx - \int_{0}^{2} (x^3 + \cos(x)) dx$<br /><br />$f(x) = \left( \frac{8}{3} + \sin(2) \right) - \left( 4 + \sin(2) \right)$<br /><br />$f(x) = \frac{8}{3} + \sin(2) - 4 - \sin(2)$<br /><br />$f(x) = \frac{8}{3} - 4$<br /><br />$f(x) = \frac{8}{3} - \frac{12}{3}$<br /><br />$f(x) = -\frac{4}{3}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é $-\frac{4}{3}$.