sum _(k-1)^infty (k!)/(2^k)x^k

Para determinar o raio de convergência da série \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^k} x^k\), podemos usar o teste da razão. Vamos calcular a razão \(L\) da série:<br /><br />\[ L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \]<br /><br />onde \(a_k = \frac{k!}{2^k} x^k\).<br /><br />Calculamos \(a_{k+1}\):<br /><br />\[ a_{k+1} = \frac{(k+1)!}{2^{k+1}} x^{k+1} \]<br /><br />A razão é:<br /><br />\[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \left| \frac{\frac{(k+1)!}{2^{k+1}} x^{k+1}}{\frac{k!}{2^k} x^k} \right| = \left| \frac{(k+1)! \cdot 2^k \cdot x^{k+1}}{k! \cdot 2^{k+1} \cdot x^k} \right| = \left| \frac{(k+1) \cdot 2 \cdot x}{2} \right| = \left| (k+1) \cdot x \right| \]<br /><br />Tomando o limite quando \(k \to \infty\):<br /><br />\[ L = \lim_{k \to \infty} \left| (k+1) \cdot x \right| = |x| \cdot \lim_{k \to \infty} (k+1) = |x| \cdot \infty \]<br /><br />Para que a série converge, \(L\) deve ser menor que 1:<br /><br />\[ |x| \cdot \infty < 1 \]<br /><br />Isso é impossível para qualquer valor finito de \(x\). Portanto, a série diverge para todos os valores de \(x\).<br /><br />Portanto, o raio de convergência é:<br /><br />\[ \boxed{0} \]