15. (ITA-SP)Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X.Sejam A,Be C conjuntos tais que n(Acup B)=8 n(Acup C)=9,n(Bcup C)=10,n(Acup Bcup C)=11 e n(Acap Bcap C)=2 Então, n(A)+n(B)+n(C) é igual a: a) 11 c) 15 e) 25 b) 14 d) 18

Para resolver essa questão, podemos usar a fórmula de inclusão-exclusão para conjuntos. A fórmula é dada por:

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$$

Substituindo os valores dados na questão, temos:

$$11 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + 2$$

Agora, podemos usar as informações dadas sobre as uniões de dois conjuntos para encontrar os valores de $$n(A \cap B)$$ , $$n(A \cap C)$$ e $$n(B \cap C)$$ .

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8$$

$$n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C) = 9$$

$$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C) = 10$$

Substituindo essas equações na fórmula de inclusão-exclusão, temos:

$$11 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + 2$$

$$11 = n(A) + n(B) + n(C) - (n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C)) + 2$$

$$9 = n(A) + n(B) + n(C) - (n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C))$$

Agora, podemos somar as três equações:

$$8 + 9 + 10 = n(A) + n(B) + n(C) - (n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C)) + (n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C))$$

$$27 = n(A) + n(B) + n(C)$$

Portanto, a resposta correta é a opção e) 25.