1. Determine as raízes reais de cada uma das equações. a) x^4-41x^2+400=0 b) 2x^4-x^2+1=0 c) x^4-5x^2-36=0 d) x^4-4x^2+3=0 e) x^4+16=0 f) x^4-45x^2+324=0 g) x^4-77x^2-324=0

Para determinar as raízes reais de cada uma das equações, podemos usar o método de substituição. Vamos resolver cada uma delas:<br /><br />a) $x^{4}-41x^{2}+400=0$<br /><br />Substituindo $y = x^2$, temos $y^2 - 41y + 400 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y = 16$ ou $y = 25$. Substituindo de volta $y = x^2$, temos $x^2 = 16$ ou $x^2 = 25$. Portanto, as raízes reais são $x = \pm 4$ e $x = \pm 5$.<br /><br />b) $2x^{4}-x^{2}+1=0$<br /><br />Substituindo $y = x^2$, temos $2y^2 - y + 1 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y = \frac{1}{4}$ ou $y = 1$. Substituindo de volta $y = x^2$, temos $x^2 = \frac{1}{4}$ ou $x^2 = 1$. Portanto, as raízes reais são $x = \pm \frac{1}{2}$ e $x = \pm 1$.<br /><br />c) $x^{4}-5x^{2}-36=0$<br /><br />Substituindo $y = x^2$, temos $y^2 - 5y - 36 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y = -3$ ou $y = 12$. Substituindo de volta $y = x^2$, temos $x^2 = -3$ ou $x^2 = 12$. Como $x^2$ não pode ser negativo, descartamos a solução $x^2 = -3$. Portanto, as raízes reais são $x = \pm 2\sqrt{3}$.<br /><br />d) $x^{4}-4x^{2}+3=0$<br /><br />Substituindo $y = x^2$, temos $y^2 - 4y + 3 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y = 1$ ou $y = 3$. Substituindo de volta $y = x^2$, temos $x^2 = 1$ ou $x^2 = 3$. Portanto, as raízes reais são $x = \pm 1$ e $x = \pm \sqrt{3}$.<br /><br />e) $x^{4}+16=0$<br /><br />Não há raízes reais para essa equação, pois $x^4$ é sempre positivo ou nulo, e não pode ser igual a 16. Portanto, não há raízes reais para essa equação.<br /><br />f) $x^{4}-45x^{2}+324=0$<br /><br />Substituindo $y = x^2$, temos $y^2 - 45y + 324 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y = 9$ ou $y = 36$. Substituindo de volta $y = x^2$, temos $x^2 = 9$ ou $x^2 = 36$. Portanto, as raízes reais são $x = \pm 3$ e $x = \pm 6$.<br /><br />g) $x^{4}-77x^{2}-324=0$<br /><br />Substituindo $y = x^2$, temos $y^2 - 77y - 324 = 0$. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos $y = -4$ ou $y = 81$. Substituindo de volta $y = x^2$, temos $x^2 = -4$ ou $x^2 = 81$. Como $x^2$ não pode ser negativo, descartamos a solução $x^2 = -4$. Portanto, as raízes reais são $x = \pm 9$.<br /><br />Espero que isso ajude a esclarecer como determinar as raízes reais das equações dadas.